Il calcolo degli integrali nasce con Archimede di Siracusa e con il suo metodo di esaustione. In questa pagina presento il suo metodo per calcolare pi greco e in un'altra pagina l'area del cerchio.
Per misurare la lunghezza della circonferenza $c$ rispetto al raggio $R$ Archimede usa un metodo per approssimazioni successive, noto come metodo di esaustione; come primo passo costruisce l'esagono inscritto nella circonferenza, e quello circoscritto come in figura accanto.
L'esagono inscritto è formato da sei triangoli equilateri(*) con lato uguale al raggio. Il perimetro dell'esagono inscritto è quindi $6R$. La circonferenza sarà maggiore di questo perimetro, quindi $6R < c$.
L'esagono circoscritto è formato da sei lati tangenti a $c$ nei vertici dell'esagono inscritto. Il triangolo $AFM$ è rettangolo (il lato è tangente e quindi perpendicolare al raggio $AF$); $\overline{AF}$ è altezza e bisettrice e quindi l'angolo $\widehat{MAF}$ è di 30° metà di 60°.
Dalla definizione di tangente goniometrica segue che $\overline{MF} = tan(30°) \overline{AF}$ e quindi $\overline{MF} = \frac{\sqrt{3}}{3} \overline{AF}$ e $\overline{MF} = \frac{\sqrt{3}}{3} R$. Il perimetro dell'esagono circoscritto è 12 volte questo segmento e quindi vale $4{\sqrt{3}}R$.
Se ne conclude che la lunghezza della circonferenza $c$ è compresa tra questi due numeri, in simboli:
$$6R < c < 4{\sqrt{3}}R \approx 6,928R$$
Se ora definiamo il numero π come il rapporto tra circonferenza e diametro $π = \frac{c}{2R}$, il metodo di Archimede di fatto è un metodo per calcolare, o meglio approssimare, il valore di $π$. E si ha questa prima approssimazione dividendo per $2R$:
$$3 < π < 3,464$$
Il secondo passo può essere quello di passare dall'esagono al dodecagono e approssimare la circonferenza, ovvero pi greco, con il perimetro del dodecagono inscritto e circoscritto. Usando le formule goniometriche si arriva a queste approssimazioni:
$$6,211R < c < 6,431R$$
$$3,106 < π < 3,215$$
Continuando ad aumentare il numero di lati si restringe sempre più l'intervallo e ci si avvicina sempre più al valore di pi greco.
Usando questo metodo Archimede ottenne come rapporto tra circonferenza e diametro un numero compreso tra $3 + \frac{10}{71}$ e $3 + \frac{1}{7}$; in decimali tra 3.140845... e 3,142857 ... ($π \approx 3,14159265...$) e fu quindi il primo ad ottenere due cifre decimali esatte, che è tuttora l'approssimazione più conosciuta di pi greco $π \approx 3.14$
N.B. Il simbolo di pi greco è di due millenni posteriore ad Archimede; fu introdotto intorno al 1700 e legittimato da Eulero.