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L'Analisi matematica nasce nel Seicento ad opera di Leibniz e Newton per risolvere alcuni problemi intrattabili con i metodi dell'algebra, p.es. il problema della tangente a una curva (Leibniz) e quello della velocità istantanea (Newton). L'idea di fondo di Leibniz è quella di introdurre nuovi numeri infinitamente piccoli o infinitesimi.
Un'idea davvero strana questa di infinitesimo, anzi, come osservò il Berkeley, contraddittoria visto che un infinitesimo viene ad essere al tempo stesso diverso da zero e praticamente uguale a zero. Eppure su queste mal definite basi Leibniz, Bernoulli, Eulero e tanti altri matematici costruirono un nuovo tipo di calcolo che fu detto infinitesimale (o anche sublime), dando luogo a una delle più importanti rivoluzioni nella storia della Matematica. Il Calcolo divenne subito uno strumento irrinunciabile per fisici e ingegneri, nonostante la debolezza delle sue fondamenta logiche.
Alla fine una soluzione per dare fondamenti logicamente più solidi al calcolo si trovò nell'Ottocento quando Cauchy prima e Weierstrass rifondarono il Calcolo superando le obiezioni del Berkeley; derivate e integrali furono definite non più in termini di infinitesimi ma di limiti a loro volta definiti con il metodo ε-δ; gli infinitesimi venivano aboliti e messi al bando dall'universo matematico; la formulazione di Cauchy-Weierstrass è divenuta quella standard, anche se questo approccio risulta molto più astruso e meno intuitivo di quello di Leibniz.
Nella seconda metà del Novecento il logico-matematico Abraham Robinson, insoddisfatto del metodo ε-δ e nostalgico di quello di Leibniz, riuscì a rifondare l'Analisi reintroducendo gli infinitesimi su basi logicamente più solide. L'Analisi così rifondata prese il nome di Analisi Non Standard; (inglese Non Standard Analysis spesso abbreviato in NSA).
L'Analisi non standard presenta diversi vantaggi su quella tradizionale; la macchinosa notazione dei limiti è molto alleggerita calcolando con gli iperreali, molte dimostrazioni risultano più semplici e intuitive, e molti calcoli alleggeriti.
L'uso della NSA è poi particolarmente indicato per un primo approccio all'analisi come quello delle scuole secondarie superiori, licei, istituti tecnici.
Nel 1973 Kurt Gödel, forse il più famoso matematico del XX secolo, in una conferenza affermò:
"ci sono buoni motivi per credere che l'Analisi non standard in una versione o in un'altra sarà l'Analisi del futuro".
A quarant'anni dal lavoro di Robinson è ancora da vedere se la profezia di Gödel si stia avverando o no.
Un parallelo con questa situazione può farsi con il confronto tra sistema eliocentrico e sistema geocentrico. Nacque prima il sistema eliocentrico con Aristarco di Samo, poi Ipparco escogitò il meccanismo geocentrico dei cicli e degli epicicli con il quale riusciva a calcolare correttamente le posizioni dei corpi celesti, salvando il principio della Terra immobile al centro dell'universo. Tolomeo tra i due sistemi scelse quello più tranquillizzante di Ipparco sempre per salvare il principio della Terra immobile.
Ci volle più di un millennio perché Copernico risuscitasse il sistema eliocentrico, e ci volle ancora un secolo perché questo prendesse definitivamente il sopravvento. Oggi poi possiamo dire che quel conflitto non aveva molto senso, un po' perché è solo questione di sistemi di riferimento relativi, e per Einstein non può esistere un sistema di riferimento privilegiato. Un po' perché il Sole a sua volta ruota intorno al centro della galassia, nel sistema di riferimento galattico.
I tempi della storia della matematica come quelli dell'astronomia sono spesso molto lunghi.
Come il sistema di Ipparco e Tolomeo, tutt'altro che ingenuo, anzi sofisticato (qualcuno lo ha paragonato a uno sviluppo di Fourier ante litteram), permetteva di fare i calcoli astronomici, salvaguardando il principio della Terra immobile, così il sistema di Cauchy e Weierstrass è una sofisticata e macchinosa costruzione logica che permette di fare il calcolo infinitesimale senza infinitesimi! Evitando quindi l'uso imbarazzante dei numeri infinitamente piccoli o infinitamente grandi, in una parola dell'inifinito attuale.
Ovvio poi che anche in questo caso non ha senso chiedersi quale sia il sistema giusto, semmai quale sia quello didatticamente più efficace o quello più comodo per il calcolo.
