Nell'analisi standard compaiono numerosi esempi di limiti notevoli; nella NSA questi equivalgono ad espressioni iperreali notevoli, nelle quali compaiono numeri iperreali infinitamente grandi o piccoli; qui come di consueto sono esemplificati dal numero $\omega$ e dal numero infinitesimo $\varepsilon$.
La tabella seguente contiene alcuni di questi limiti, il loro equivalente iperreale, una breve giustificazione del risultato, necessariamente sintetica. Viene mantenuto in uso il simbolo $\infty$ qui da intendersi come un qualche numero infinitamente grande; naturalmente questo simbolo di infinito va usato solo alla fine a indicare che il risultato è infinitamente grande, $\infty$ non è un numero e non è possibile farci calcoli.
| Limite | Espressione iperreale | In breve | Note |
|---|---|---|---|
| $$ \lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x} = 1 $$ | $$ \frac{\sin{ε}}{ε} \simeq 1 $$ | perché $ \sin(ε) \cong ε $ | (vedi funzioni goniometriche iperreali) |
| $$ \lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x} = 0 $$ | $$ \frac{1-\cos{ε}}{ε} \simeq 0 $$ | $ \frac{1-\cos{ε}}{ε} \cong \frac{1-1}{ε} = 0 $ perché $ \cos(ε) \cong 1 $ | |
| $$ \lim\limits_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = 1 $$ | $$ \frac{e^ε - 1}{ε} \simeq 1 $$ | $ \frac{e^ε - 1}{ε} \simeq \frac{1 + ε -1}{ε} = \frac{ε}{ε} = 1 $ perché $ e^ε \cong 1 + ε $ | (vedi funzioni esponenziali iperreali) |
| $$ \lim\limits_{x \to \infty} {x^{\frac{1}{x}}} = 1 $$ | $$ ω^ε = 1 + δ \\ ω^ε \simeq 1 $$ | $ ω^ε > 1 → ω^ε = 1 + d → ω = (1 + d)^ω → ω = (1 + δ)^ω → ω^ε = 1 + δ → ω^ε \simeq 1 $ | |
| $$ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{x} = 0 $$ | $$ \frac{\ln(ω)}{ω} \simeq 0 $$ | $ \frac{\ln(ω)}{ω} = ε\ln(ω) = \ln(ω^ε) \simeq \ln(1) = 0 $ | La funzione logaritmica $\ln{x}$ è infinita di ordine inferiore a qualsiasi potenza di $x$ (e quindi a qualsiasi funzione polinomiale di $x$) |
| $$ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{x^n} = 0 $$ | $$ \frac{\ln(ω)}{ω^n} \simeq 0 $$ | $ \frac{\ln(ω)}{ω^n} = \frac{1}{ω^{n-1}} \frac{\ln(ω)}{ω} = ε^{n-1} \frac{\ln(ω)}{ω} \simeq 0 $ | |
| $$ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{e^x}{x} = \infty $$ | $$ \frac{e^ω}{ω} [ = \infty ]$$ | $ \frac{e^ω}{ω} = \frac{e^ω}{e^{\ln{ω}}} = e^{ω-\ln{ω}} = e^{ω(1-\frac{\ln{ω}}{ω})} \cong e^{ω} [= \infty ]$ | La funzione esponenziale $e^x$ è infinita di ordine superiore a qualsiasi potenza di $x$ (e quindi a qualsiasi funzione polinomiale di $x$) |
| $$ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{e^x}{x^n} [= \infty ]$$ | $$ \frac{e^ω}{ω^n}[= \infty] $$ | $ \frac{e^ω}{ω^n} = \frac{e^ω}{e^{\ln{ω^n}}} = e^{ω-n\ln{ω}} = e^{ω(1-n\frac{\ln{ω}}{ω})} \cong e^{ω}[ = \infty] $ |