| Numeri iperreali | Limiti equivalenti |
|---|---|
| $ \sin(dx) \cong dx $ | $ \lim\limits_{x \to\ 0}{\sin{x}} = 0 $ |
| $ \frac{\sin(dx)}{dx} \simeq 1 $ | $ \lim\limits_{x \to\ 0}{\frac{\sin{x}}{x}} = 1 $ |
| $ \cos(dx) \cong 1 $ | $ \lim\limits_{x \to\ 0} {\cos{x}} = 1 $ |
| $ \tan(dx) \cong dx $ | $ \lim\limits_{x \to\ 0} {\tan{x}} = 0 $ |
| $ \cos(x + dx) \cong \cos(x) - \sin(x) dx $ | |
| $ \sin(x + dx) \cong \sin(x) + \cos(x) dx $ | |
Intuitivamente osservando il disegno ingrandito per angoli molto piccoli, il seno dell'angolo è pressoché uguale all'angolo stesso (misurato in radianti!), come avviene nella misura delle parallassi stellari dove l'angolo di parallasse è estremamente piccolo. Verifichiamo ora che per angoli infinitamente piccoli il seno di un angolo infinitesimo ε è indistinguibile da ε. (*)
Dal disegno risulta, ricordando che la corda è minore dell'arco che a sua volta è minore della tangente:
$ \sin(\epsilon) \le \epsilon \le \tan{\epsilon} $
Ne risulta, banalmente, che $\sin(\epsilon)$ è un infinitesimo, e così anche per $\tan(\epsilon)$. Ma dividendo queste due disuguaglianze per $\epsilon$ si ottiene:
$ \frac{\sin(\epsilon)}{\epsilon} \le 1$ e $ 1 \le \frac{\tan(\epsilon)}{\epsilon} $
Moltiplicando ora la seconda per $\cos(\epsilon)$:
$ \cos(\epsilon) \le \frac{\sin(\epsilon)}{\epsilon}$
e quindi concatenando le due disuguaglianze ottenute:
$ \cos(\epsilon) \le \frac{\sin(\epsilon)}{\epsilon} \le 1$
Per quando riguarda il coseno, dal disegno appare evidente che il coseno dell'infinitesimo è infinitamente vicino asd $1$; più rigorosamente, ricordando una delle formule di duplicazione del coseno ($\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x)$), si può scrivere:
$ \cos{\epsilon} = 1 - 2 \sin^2{\frac{\epsilon}{2} } \simeq 1$
E quindi essendo compreso tra $1$ e un numero infinitamente vicino ad $1$, il quoziente del seno di un infinitesimo per lo stesso infinitesimo è infinitamente vicino ad 1, in simboli:
$$ \frac{\sin(\epsilon)}{\epsilon} \simeq 1$$
Questo importante risultato nei trattati di analisi classica è enumerato tra i limiti fondamentali nella notazione riportata a lato.
Ricordando poi che due numeri iperreali il cui rapposto è infinitamente vicino ad uno, si dicono indistinguibili o asintotici(*) si può anche scrivere:
$$ \sin(\epsilon) \cong \epsilon $$
Per le applicazioni che interessano qui, verifica di continuità, calcolo della derivata, si può sostituire il simbolo di indistinguibile con quello di uguale. Per esempio la continuità della funzione seno si verifica come segue:
$\require{cancel} \sin(x + \epsilon) - \sin(x) = \cancel{\sin(x)} + \cos(x){\epsilon} - \cancel{\sin(x)} = \cos(x){\epsilon} \simeq 0 $
Per il calcolo della derivata del seno vedi la pagina Derivata della funzione seno.
Il valore della tangente di un infinitesimo si ricava con un ragionamento analogo a quello del seno, oppure ricordando la seconda identità goniometrica fondamentale.
$ \tan{\epsilon} = \frac{\sin(\epsilon)}{\cos(\epsilon)} \cong {\epsilon} $
Ricordando le formule di addizione valide anche per gli infinitesimi si ricavano le formule seguenti, e cioè per il seno e il coseno degli iperreali.
$ \cos(x+{dx}) = \cos{x}\cos{dx} - \sin{x}\sin{dx} \cong \cos{x} - \sin{x} {dx} \\ \sin(x+{dx}) = \sin{x}\cos{dx} + \cos{x}\sin{dx} \cong \sin{x} + \cos{x} {dx} \\ \tan(x+{dx}) = \frac{\tan{x}+\tan{dx}}{1 - \tan{x}\tan{dx}} \cong \frac{\tan{x} + {dx}}{1 - \tan{x}{dx}} $