| $$D_x \cos(x) = -\sin(x)$$ |
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Osservando qui a destra il grafico dinamico della funzione coseno, y = cos(x) e della tangente in un suo punto generico, si nota che il coefficiente angolare m della tangente coincide sempre con l'opposto della funzione seno, p.es. per x = −π la tangente ha m = 0, per x = −π/2 la tangente ha m = -1, in altre parole la derivata del coseno sembra coincidere con l'opposto del seno.
Più rigorosamente, partendo dalla definizione generale di derivata possiamo ricavare:
$ D_x f(x) = st \left ( \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \right) $
$ D_x \cos(x) = st \left ( \frac{\cos(x+dx)-\cos(x)}{dx} \right) $
$\require{cancel} = st \left( \frac{\cancel{\cos(x)} - \sin(x){dx} - \cancel{\cos(x)}}{dx} \right) $(*)
$\require{cancel} = -st \left( \frac{\cancel{dx} \sin(x)}{\cancel{dx}} \right ) = - \sin(x)$
e quindi
$ D_x \cos(x) = -\sin(x) $
Dalla derivata appena calcolata e da quella del seno, seguono immediatamente gli integrali fondamentali:
$$ \int{\sin(x)}{dx} = -\cos(x) + c $$ $$ \int{\cos(x)}{dx} = \sin(x) + c $$