$$ D_x \sin(x) = \cos(x) $$
Tangente per x = −π Tangente per x = −π/2 Tangente per x = 0 Tangente per x = π/4 Tangente per x = π/3

Osservando qui a destra il grafico dinamico della funzione seno, y = sin(x) e della tangente in un suo punto generico, si nota che il coefficiente angolare m della tangente coincide sempre con il valore della funzione coseno, p.es. per x = −π la tangente ha m = −1, per x = −π/2 la tangente ha m = 0, in altre parole la derivata del seno sembra coincidere con il coseno.

Più rigorosamente, partendo dalla definizione generale di derivata possiamo ricavare:

$ D_x f(x) = st \left ( \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \right) $

$ D_x \sin(x) = st \left ( \frac{\sin(x+dx)-\sin(x)}{dx} \right) $

$ \require{cancel} = st \left( \frac{\cancel{\sin(x)} + {dx} \cos(x) - \cancel{\sin(x)}}{dx} \right) $ (*)

$ = st \left ( \frac{{dx} \cos(x)}{dx} \right)= \cos(x)$

e quindi

$ D_x \sin(x) = \cos(x) $

Dalla derivata appena calcolata e da quella del coseno, seguono immediatamente gli integrali fondamentali: