Osservando qui a destra il grafico della funzione esponenziale, $y = e^x$ e della tangente in un suo punto, si nota che il coefficiente angolare della tangente è sempre uguale al valore della funzione; in altre parole la derivata sembra coincidere con la funzione.

Consideriamo un punto generico P(x;y) e il punto infinitamente vicino (x+dx;y+dy):

e quindi sostituendo y nella seconda e applicando le proprietà delle potenze:

Ma dato che $ e^{dx} \cong 1 + dx $, si ha:

e quindi dividendo per dx:

Ricordando la definizione di derivata e sostituendovi $e^x$:

$ D_x f(x) = st \left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) = st \left(\frac{e^{x + dx} - e^{x}}{dx} \right) $

ricordando ora le proprietà delle potenze e il fatto che $ e^{dx} \cong 1 + dx $ si ricava:

$ = st \left(\frac{e^x\ e^{dx} - e^{x}}{dx} \right) \\ = st \left(\frac{e^x(e^{dx} - 1)}{dx} \right) \\ = st \left(\frac{e^x {dx}}{dx} \right) = e^x $

La funzione esponenziale $e^x$ è quindi l'unica funzione ad avere se stessa come derivata. A destra è possibile osservare il grafico delle tangenti per x = -1, 0, +1 e,

Segue immediatamente che sono uguali a $ e^x $ anche tutte le derivate successive:

$ y'' = e^x \\ y''' = e^x \\ y^{iv} = e^x \\ y^{v} = e^x \\ \cdots $

La derivata di una funzione esponenziale $ a^x $ con base a diversa da e è, ricordando che per la definizione di logaritmo naturale è $ a = e^{\ln(a)} $ e la regola di derivazione della funzione composta:

$ D_x a^x = D_ e^{x\ln(a)} = \ln(a) e^{x\ln(a)} = \ln(a).a^x $

Ovviamente essendo la funzione esponenziale invariante rispetto all'operazione di derivata, anche l'integrale indefinito di $e^x$ è $e^x$ con l'aggiunta come sempre della costante di integrazione:

$$ \int{e^x}dx = e^x + c $$