| Funzione composta |
|---|
| $$ D_x f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x) $$ |
| $$ st \left(\frac{dy}{dx} \right) = st \left(\frac{dy}{dt} \right) \times st \left(\frac{dt}{dx} \right) $$ |
Questa regola è uno degli strumenti più potenti per il calcolo delle derivate. Le funzioni composte sono funzioni che possono scomporsi in funzioni più semplici; consideriamo ad esempio la funzione $ f(x) = (x-3)^2 $;
La sua derivata può calcolarsi calcolando il quadrato $f(x) = (x-3)^2 = x^2-6x+9$ e quindi la derivata del polinomio $f'(x)=2x-6 = 2(x-3)$.
Si osserva che la derivata è il doppio del binomio di partenza, un po' come la derivata di $x^2$ è $2x$. È un caso?
Però la derivata del quadrato $f(x) = (3x-1)^2 = 9x^2-6x+1$ è $f'(x)=18x-6 = 6(3x-1)$. Qui la derivata è il sestuplo del binomio.
Cerchiamo allora un regola generale; le $f(x)$ di sopra sono composte di due funzioni elementari; nel secondo caso il binomio $3x -1$ e il quadrato; la natura composta della funzione si può evidenziare nel modo seguente, utilizzando la variabile di comodo $t$ per scomporla nelle due funzioni elementari:
$ \begin{cases} y = t^2 \\ t = 3x - 1 \end{cases} $
In generale una qualsiasi funzione $y = f(g(x))$ si scompone in
$ \begin{cases} y = f(t) \\ t = g(x) \end{cases} $
Per derivare una funzione composta come quella dell'esempio precedente basta ricordare che agli infinitesimi si applicano le ordinarie regole algebriche e che quindi deve essere vera la seguente uguaglianza (semplicando in croce (*) gli infinitesimi $dt$)
$\require{cancel} st \left(\frac{dy}{dt} \right) \times st \left(\frac{dt}{dx} \right) = st \left(\frac{dy}{\cancel{dt}} \frac{\cancel{dt}}{dx}\right) = st \left(\frac{dy}{dx} \right) $
In altre parole la derivata della funzione composta è data dal prodotto delle derivate delle funzioni elementari.
Così per derivare la funzione precedentemente vista $y = (3x -1)^2$ che si scompone in
$ \begin{cases} y = t^2 \\ t = 3x - 1 \end{cases} $
è sufficiente calcolare le due derivate
$ \begin{cases} y' = 2t \\ t' = 3 \end{cases} $
$ f'(x) = 2t \times 3 = 6t = 6(3x-1) = 18x - 6 $
Lo stesso risultato che si era ottenuto sopra calcolando prima il quadrato e poi la derivata:
Applicando questo metodo alla prima funzione:
$ \begin{cases} y = t^2 \\ t = x - 3 \end{cases} $
$ \begin{cases} y' = 2t \\ t' = 1 \end{cases} $
$ f'(x) = 2t \times 1 = 2t = 2(x-3) = 2x - 6 $
| Funzione | Scomposizione | Derivate | Derivata di f(g(x)) |
|---|---|---|---|
| $ y = (x^2 - 3)^2 = x^4 - 6x^2 + 9$ |
$ y = t^2 $ $ t = x^2 - 3 $ |
$ y' = 2t $ $ t' = 2x $ | $ y' = 2(x^2 - 3)2x = 4x^3 - 12x $ |
| $ y = \frac{1}{{x^2}-1} $ |
$ y = {\frac{1}{t}} = t^{-1} $ $ t = x^{2} - 1 $ |
$ y' = -{\frac{1}{t^2}} = - t^{-2} $ $ t' = 2x $ | $ y' = -{\frac{2x}{({x^2} - 1)^2}} $ |
| $ y = \cos(2x) $ |
$ y = \cos(t) $ $ t = 2x $ |
$ y' = -\sin(t) $ $t' = 2 $ | $ y' = 2(-\sin(t)) = -2 \sin(2x) $ |
| $ y = \cos^2(x) $ |
$ y = t^2 $ $ t = \cos(x) $ |
$ y' = 2t $ $ t' = -\sin(x) $ | $ y' = 2t(-\sin(x)) = -2 \cos(x)\sin(x) $ |
| $ y = \cos(x^{2}) $ |
$ y = \cos(t) $ $ t = x^2 $ |
$ y' = -\sin(t) $ $ t' = 2x $ | $ y' = 2x(-\sin(t)) = -2x \sin(x^2) $ |
| $ y = \sqrt{3x + 1} $ |
$ y = \sqrt{t} $ $ t = 3x + 1 $ |
$ y' = \frac{1}{2\sqrt{t}} $ $ t' = 3 $ | $ D_x \sqrt{3x+{1}} = 3 \frac{1}{{2} \sqrt{t}} = \frac{3}{{2}\sqrt{3x+1}} $ |
| $ y = e^{3x - 2} $ |
$ y = e^{t} $ $ t = 3x - 2 $ |
$ y' = e^{t} $ $ t' = 3 $ | $ D_x = 3 e^{3x - 2} $ |