Obiettivo

Calcolare la derivata della funzione inversa, nota quella della funzione f(x).

Si dimostra che la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione di partenza (primitiva).

Che cosa si intende per funzione inversa?

Chiamiamo funzione inversa di una funzione $y = f(x)$ è quella che si ottiene scambiando di ruolo la $x$ e la $y$: $x=f(y)$ e si indica con $y = f^{-1}(x)$. Ovviamente non è detto che la funzione inversa sia univoca come la primitiva.

• I esempio: data la funzione $y = x^2$ (quadrato di x) la inversa è $x=y^2$ che equivale a $y = \sqrt{x}$; quindi la radice quadrata è la funzione inversa del quadrato; come è noto la radice quadrata non è univoca.
• II esempio: data la funzione $y = 2^x$ (potenza di 2), la inversa è $x = 2^y$ ovvero la funzione logaritmo, $y = log_2{x}$.
• III esempio: data la funzione $y = 3x + 1$, la inversa è $ x= 3y + 1$ ovvero $y = \frac{x - 1}{3}$.

Dimostrazione

La regola si riduce a questi semplici passaggi algebrici:

$$D_x f^{-1}(x) = st\left(\frac{dy}{dx} \right) = st\left(\frac{1}{\frac{dx}{dy}} \right) = \frac{1}{st\left( \frac{dx}{dy}\right)} = \frac{1}{f(y)}$$

In altre parole la derivata della funzione inversa è data semplicemente dal reciproco della derivata della funzione di partenza.

Esempio 1

Per derivare la funzione radice quadrata $y = \sqrt{x}$ basta ricordare che equivale a $x = y^2$, e dato che la derivata in questo caso è $2y$, si ha $ D_x \sqrt{x} = \frac{1}{2y} $ e poiché $y=\sqrt{x}$ ne segue che è: $D_x \sqrt{x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Esempio 2

Per derivare la funzione logaritmo $y = \ln{x}$ basta ricordare che equivale a $x = e^y$, e dato che la derivata in questo caso è $e^y$, si ha $ D_x \ln{x} = \frac{1}{e^y} $ e poiché $e^y=x$ ne segue che è: $D_x \ln{x} = \frac{1}{x}$

Esercizi

Calcolare la derivata delle seguenti funzioni, usando la regola della funzione inversa:

1. $y = \sqrt{2x + 1}$
2. $y = \ln(2x + 1)$
3. $y = \sqrt[3]{x}$