Osservando i grafici a lato e l'andamento della tangente, anche con l'applet Geogebra, è facile verificare a vista che il valore della pendenza della tangente coincide sempre con il valore di $ \frac{1}{x} $.
Ricordando che la funzione logaritmo naturale è la funzione inversa dell'esponenziale le due seguenti scritture sono equivalenti:
$ y = \ln{x} \ \quad x = e^y $
Ora se si calcola la derivata della funzione esponenziale rispetto alla variabile y si ha:
$ D_y e^y = e^y \simeq \frac{dx}{dy} $
e quindi calcolando il reciproco si ha:
$ \frac{dy}{dx} \simeq \frac{1}{e^y} $
e ricordando che $ e^y = x $:
$ \frac{dy}{dx} \simeq \frac{1}{x} $
che è appunto la derivata del logaritmo
$$ D_x \ln(x) = \frac{1}{x} $$
La derivata del logaritmo naturale è quindi 1/x la più semplice funzione algebrica fratta, graficamente un ramo di iperbole. Va notato che mentre il logaritmo è definito solo per x > 0, la funzione 1/x è definita per x ≠ 0; per evitare fraintendimenti è bene quindi aggiungere la clausola x > 0.
Da quanto detto segue immediatamente l'integrale fondamentale $ \int{\frac{1}{x}} = \ln{|x|} + c$.
Una dimostrazione alternativa, più artificiosa e che usa le proprietà delle potenze(*), della derivata del logaritmo è la seguente che parte dalla definizione di derivata:
$ D_x \ln{x} = D_x st \left( \frac{\ln(x+dx)-\ln{x}}{dx} \right) $ $ = st \left( \frac{\ln{\frac{x+dx}{x}}}{dx} \right) $ $ = st \left( \frac{\ln{\left (1+ \frac{dx}{x} \right)}}{dx} \right) $ $ = st \left( \frac{\frac{dx}{x}\ln{\left (1+ \frac{dx}{x} \right)^{\frac{x}{dx}}}}{dx} \right) $
ma l'argomento del logaritmo è per definizione infinitamente vicino al numero e e per definizione $ \ln{e} = 1$
$ \simeq \frac{\frac{dx}{x}\ln{ e}}{dx} = \frac{\frac{dx}{x}}{dx} = \frac{1}{x}$