| Nell'insieme degli iperreali | |
|---|---|
| $$ \eta = \left( 1 + \frac{1}{\omega} \right)^\omega = (1 + \varepsilon)^{\omega} $$ | |
| Nell'insieme dei reali | |
| $$ e = st (\eta) = st \left((1 + \varepsilon)^{\omega}\right) $$ | $ e = \lim\limits_{n \to \infty} {\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} $ |
Consideriamo la ben nota legge dell'interesse composto:
$ C = C_0(1 + t)^{n} $
doce $C_0$ è il capitale iniziale, t il tasso di interesse e n il numero di periodi.
Per esempio dato un capitale iniziale di 100 € un tasso di interesse del 10% annuo, dopo 10 anni si avrà un capitale $C = 100(1+0.10)^{10} = 100(1.1^{10}) = 259.37 €$
il che mostra che per tassi positivi l'interesse composto è più vantaggioso di quello semplice che avrebbe dato un capitale finale di 200€.
Ancor più vantaggioso sarebbe avere pagato l'interesse del 10% in due cedole del 5% all'anno; infatti così si hanno 20 periodi con tasso del 5% e quindi: $C = 100(1.05)^{20} = 265.33 €$ un po' di più.
Si potrebbe pensare che aumentando all'infinito il numero di cedole, e riducendo in proporzione il tasso, il capitale finale aumenti sempre di più, e possa superare ogni limite.
Sorprendentemente le due affermazioni non sono equivalenti: il capitale aumenta sempre di più ma non supererà mai un certo valore limite; ecco una tabella con alcuni valori di C e di n:
| $n$ | 0 | 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 | 1000000 |
| $C$ | 100 | 200 | 259.37424601 | 270.4813829422 | 271.6923932236 | 271.8145926825 | 271.8268237192 | 271.8280469096 |
Si osserva che il capitale finale tende a stabilizzarsi(*) su una cifra le cui prime cifre sono 271,828 ... ovvero il capitale finale è 2,71828 ... volte il capitale iniziale. Si può dimostrare che questo numero resta sempre $ \lt 3 $ e quindi è un numero limitato. Si tratta di un numero di importanza fondamentale nell'analisi chiamato numero di Nepero; numero irrazionale e indicato per convenzione con la lettera $e$.
Il numero $e$ è importante soprattutto come base della funzione esponenziale.
Ammettendo l'esistenza di numeri infinitamente grandi, la legge dell'interesse composto si può scrivere così, definendo quindi un nuovo numero iperreale: $$ \eta = \left( 1 + \frac{1}{\omega} \right)^\omega = (1 + \varepsilon)^{\omega} $$
Se consideriamo la parte standard di questo numero otteniamo il numero di Nepero $e$:
$$ e = st (\eta) = st \left((1 + \varepsilon) ^{\omega}\right) $$
dove $\varepsilon$ e $\omega$ sono i due iperreali fondamentali, ma il discorso vale anche per un infinitesimo e un infinito che siano l'uno il reciproco dell'altro; la definizione equivale nella notazione dei limiti:
Rappresentato in cifre il numero $\eta$ è:
$ e = \left \langle 1; 2; 2.25; 2.370...; 2,44140...; 2.4882...; 2.521626...; 2.5464996...; 2.56578...; 2.58117...; 2.5937... \right \rangle \simeq 2,71828... $