I numeri iperrealiRegole di derivazione
Il numero e
Funzioni esponenziali degli iperreali Funzioni goniometriche degli iperreali Derivata di exp(x)

Nell'insieme degli iperreali
$$ \eta = \left( 1 + \frac{1}{\omega} \right)^\omega = (1 + \varepsilon)^{\omega} $$
Nell'insieme dei reali
$$ e = st (\eta) = st \left((1 + \varepsilon)^{\omega}\right) $$ $ e = \lim\limits_{n \to \infty} {\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} $

Consideriamo la ben nota legge dell'interesse composto:

$ C = C_0(1 + t)^{n} $

doce $C_0$ è il capitale iniziale, t il tasso di interesse e n il numero di periodi.

Per esempio dato un capitale iniziale di 100 € un tasso di interesse del 10% annuo, dopo 10 anni si avrà un capitale $C = 100(1+0.10)^{10} = 100(1.1^{10}) = 259.37 €$

il che mostra che per tassi positivi l'interesse composto è più vantaggioso di quello semplice che avrebbe dato un capitale finale di 200€.

Ancor più vantaggioso sarebbe avere pagato l'interesse del 10% in due cedole del 5% all'anno; infatti così si hanno 20 periodi con tasso del 5% e quindi: $C = 100(1.05)^{20} = 265.33 €$ un po' di più.

Si potrebbe pensare che aumentando all'infinito il numero di cedole, e riducendo in proporzione il tasso, il capitale finale aumenti sempre di più, e possa superare ogni limite.

Sorprendentemente le due affermazioni non sono equivalenti: il capitale aumenta sempre di più ma non supererà mai un certo valore limite; ecco una tabella con alcuni valori di C e di n:


$n$01101001000100001000001000000
$C$100200259.37424601270.4813829422271.6923932236271.8145926825271.8268237192 271.8280469096

Si osserva che il capitale finale tende a stabilizzarsi(*) su una cifra le cui prime cifre sono 271,828 ... ovvero il capitale finale è 2,71828 ... volte il capitale iniziale. Si può dimostrare che questo numero resta sempre $ \lt 3 $ e quindi è un numero limitato. Si tratta di un numero di importanza fondamentale nell'analisi chiamato numero di Nepero; numero irrazionale e indicato per convenzione con la lettera $e$.

Il numero $e$ è importante soprattutto come base della funzione esponenziale.


Ammettendo l'esistenza di numeri infinitamente grandi, la legge dell'interesse composto si può scrivere così, definendo quindi un nuovo numero iperreale: $$ \eta = \left( 1 + \frac{1}{\omega} \right)^\omega = (1 + \varepsilon)^{\omega} $$

Se consideriamo la parte standard di questo numero otteniamo il numero di Nepero $e$:

$$ e = st (\eta) = st \left((1 + \varepsilon) ^{\omega}\right) $$

dove $\varepsilon$ e $\omega$ sono i due iperreali fondamentali, ma il discorso vale anche per un infinitesimo e un infinito che siano l'uno il reciproco dell'altro; la definizione equivale nella notazione dei limiti:

Rappresentato in cifre il numero $\eta$ è:

$ e = \left \langle 1; 2; 2.25; 2.370...; 2,44140...; 2.4882...; 2.521626...; 2.5464996...; 2.56578...; 2.58117...; 2.5937... \right \rangle \simeq 2,71828... $

X Il primo matematico a rendersi conto, che la legge dell'interesse composto aveva questo comportamento convergente a un numero ben determinato, fu Jacob Bernoulli nel 1683. Il simbolo $e$ fu introdotto molti decenni dopo da Eulero.