Il numero di Nepero $e$ è il numero reale che si definisce come parte standard dell'iperreale $\eta$:

$ \eta = \left(1 + \frac{1}{\omega} \right)^{\omega} = (1 + \varepsilon)^{\omega} \\ e = st (\eta) = st \left( (1 + \varepsilon) ^{\omega}\right) \\ e \simeq ( 1 + \varepsilon )^{\omega} $

dove $\omega$ è il numero infinitamente grande ed $\varepsilon$ il suo reciproco, numero infinitamente piccolo.

Sulla base di questa definizione è facile ricavare il valore della funzione esponenziale di un infinitesimo:

$ e^{\varepsilon} \simeq ((1+\varepsilon)^{\omega})^{\varepsilon} = (1+\varepsilon)^{\omega\varepsilon} = 1 + \varepsilon $

$ e^{\varepsilon} \simeq 1 + \varepsilon $

La relazione di infinitamente vicino qui dice ancora poco, in sostanza equivale a dire che $ e^{\varepsilon}$ appartiene alla monade di $1$ ovvero $e^{\varepsilon} \simeq 1 $ o $ e^{\varepsilon} \simeq 1 + \delta $ con $\delta$ altro infinitesimo qualsiasi, mentre qui abbiamo che l'infinitesimo a destra è proprio lo stesso di quello a sinistra; questo si può scrivere usando il simbolo di indistinguibile:

$ e^{\varepsilon} \cong 1 + \varepsilon $ o anche usando il simbolo di uguale in senso esteso(*) $ e^{\varepsilon} = 1 + \varepsilon $

Usando la notazione di Leibniz si può scrivere anche così:

$ e^{dx} = 1 + {dx} $

$ e^{\omega} > \omega $ infatti per un qualsiasi numero a > 2 e per n > 1 si ha $ a^n > n $ questo equivale a dire che $ e^{\omega}$ è un numero infinitamente grande.

$ e^{-\omega} < \varepsilon $ infatti $ e^{-\omega} = \left( \frac{1}{e}\right)^{\omega} $ ed è quindi rovesciando l'affermazione precedente un numero infinitamente piccolo.

Calcolando poi il logaritmo naturale di entrambi i membri di $ e^{\varepsilon} \simeq 1 + \varepsilon $ si ottiene:

$ \ln(1 + \varepsilon) \simeq \ln(e^{\varepsilon}) $

$ \ln(1 + \varepsilon) \cong \varepsilon $

Nel riepilogo a lato sono riportati a destra gli stessi risultati scritti anche nella notazione dei limiti (infinito potenziale).