Il numero Omega

Consideriamo la somma: $1+1$ come definizione del numero $2$, la somma $1+1+1$ come definizione del numero $3$ e così via. In questo modo possiamo definire qualsiasi numero intero come somma di $1$. Ma quale numero è definito dalla seguente somma transfinita? $$ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1...$$

Si tratta di un numero maggiore di qualsiasi numero naturale, un numero infinitamente grande che viene di solito indicato con la lettera $\omega$ simbolo introdotto da Georg Cantor per i suoi numeri ordinali (vedi sotto).

Se immaginiamo di eseguire questa somma infinita un passo alla volta, segnando ogni volta il totale provvisorio, otteniamo questa sequenza: $$ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...$$

Possiamo quindi definire $\omega$ come un iperreale infinitamente grande(*) o illimitato basandoci sulla seguente sequenza di reali(*): $$ \omega = \left\langle 1, 2, 3, 4, 5, 6 ... \right\rangle$$

$\omega$ può servire anche a definire il numero infinitesimo $\epsilon$ come il suo reciproco: $$ \epsilon = \left\langle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6} ... \right\rangle = \frac{1}{\omega}$$

Una conseguenza ovvia, ma utile per semplificare i calcoli, è: $$ \omega \times \epsilon = 1 $$

I simboli $ \omega$ ed $\epsilon$ dovrebbero essere usati come i simboli base dei numeri iperreali, un po come il simbolo $i$ è il simbolo base dei numeri complessi. In effetti ne basterebbe uno, l'altro essendo il suo reciproco, ma è più comodo usarli entrambi.

Attenzione però, non è affatto detto che il prodotto di un numero infinitamente grande per uno infinitamente piccolo sia $1$ o anche solo un numero finito, dipende, va calcolato caso per caso(*). Come controesempio: $$ \left\langle 1, 4, 9, 16, 25, ... \right\rangle = \omega^2 $$ $$ \omega^2 \times \epsilon = \left\langle 1, 2, 3, 4, 5... \right\rangle = \omega$$ qui il prodotto tra il numero iperreale infinitamente grande $\gamma$ e l'infinitamente piccolo $\epsilon$ è $\omega$. Qui il prodotto tra infinitamente piccolo e infinitamente grande è infinitamente grande.

Diversa la situazione in questo altro esempio: $$ \left\langle 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16} ... \right\rangle = \epsilon^2$$ $$ \epsilon^2 \times \omega = \left\langle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} ... \right\rangle = \epsilon$$ qui il prodotto è $\epsilon$ infinitamente piccolo.

Analogamente il quoziente tra due numeri infinitamente grandi è indeterminato a priori(*) nel senso che può essere infinitesimo, finito, o infinitamente grande. Esempi:

Il termine infinitamente grande ha origini molto più antiche della NSA; Eulero per esempio usa il latino infinite magnus. X

L'uso del termine infinito come sinonimo di infinitamente grande per indicare questi numeri è sconsigliato da molti autori, per evitare confusioni con altre accezioni del termine infinito, per esempio l'infinito della geometria proiettiva, o l'infinito come valore di una serie o di un integrale divergente. X

X Nell'analisi classica si usa la curiosa notazione $ \infty \times 0$ per indicare il prodotto di un limite che tende a infinito e di un limite che tende a zero, e si parla di forma di indeterminazione per intendere appunto che non può essere stabilito a priori se il limite risultante sia infinitesimo, finito o infinito.

X Nell'analisi classica si scrive $\frac{\infty}{\infty}$ per indicare il quoziente di due limiti infiniti, anche questa una forma di indeterminazione.

X Più rigorosamente il numero $\omega$ andrebbe definito come la classe di equivalenza di tutte le sequenze di reali che risultano uguali a questa in base all'ultrafiltro che regola le relazioni di uguaglianza e confronto tra iperreali; ma un tale livello di rigore non appare qui necessario, un po' come quando si definiscono i numeri razionali come quozienti di numeri interi. Anche in quel caso andrebbe definita la classe di equivalenza tra frazioni equivalenti.