Confronto di numeri iperreali

Analisi infinitesimale → Numeri iperreali → Iperreali in cifre

Come confrontare due numeri iperreali? Come stabilire quale tra due iperreali α e β è più grande ovvero quando i due numeri sono uguali?

Nel caso banale di due numeri come $ a = \left\langle 1, 1, 1 ... \right\rangle = 1 $ e $ b = \left\langle 2, 2, 2 ... \right\rangle = 2 $ la decisione è facile: in questo esempio è, all'unanimità, $ 2 > 1 $.

Ma come confrontare questi due numeri?

$ ζ = \left\langle 1, {3}, {5}, {7}, {9}, 11, 13, 15, 17 ... {2n+1} ... \right\rangle \\ φ = \left\langle 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... Fib(n) ...\right\rangle $

Sono maggiori i primi sei elementi di ζ, per il settimo c'è uguaglianza, per tutti gli altri sono maggiori gli elementi di φ. Si adotta la regola della maggioranza; qui si tratta di una maggioranza infinito a sei e quindi scriveremo $ φ > ζ $.

Quindi il criterio di confronto è molto semplice: dei due numeri iperreali α, β è maggiore quello per il quale la maggioranza degli elementi è maggiore.

Primo esempio Secondo esempio

$ ε = \left\langle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} ... \frac{1}{n} ...\right\rangle \\ \frac{1}{4} = \left\langle \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4} ... \frac{1}{4} ...\right\rangle $
I primi tre elementi di ε sono maggiori di quelli di $\frac{1}{4}$ per il quarto elemento c'è uguaglianza, per tutti gli altri elementi che sono infiniti è maggiore $\frac{1}{4}$; quindi è definitivamente $$ε < \frac{1}{4}$$ e dal momento che lo stesso criterio vale per qualsiasi iperreale della forma $\frac{1}{N}$ questo prova che ε è un numero iperreale infinitamente piccolo.

Un secondo esempio importante:
$ ω = \left\langle 1, {2}, {3}, {4} ... {n} ...\right\rangle \\ {4} = \left\langle {4}, {4}, {4}, {4} ... {4} ...\right\rangle $
I primi tre elementi di ω sono minori di quelli di ${4}$ per il quarto elemento c'è uguaglianza, per tutti gli altri elementi che sono infiniti è maggiore ω; quindi è definitivamente $$ ω > {4}$$ e dal momento che lo stesso criterio vale per qualsiasi iperreale ${N}$ questo prova che ω è un numero iperreale infinitamente grande.

Uguaglianza Caso dubbio

Questo criterio della maggioranza vale anche per l'uguaglianza; per esempio dati i numeri:
$ \zeta = \left\langle 1, 3, 5, 7, 9, 11 ... {2n+1} ... \right\rangle \\ \phi = \left\langle 5, 5, 5, 7, 9, 11 ... {2n+1} ... \right\rangle $
risulta $\zeta \ne \phi$ solo per i primi due elementi; tutti gli altri elementi sono uguali e quindi definitivamente è $$ \zeta = \phi $$ in parole diverse $\zeta$ e $\phi$ sono due rappresentazioni diverse dello stesso numero.
A un maggiore livello di astrazione un numero iperreale può definirsi come la classe di equivalenza delle sequenze infinite uguali in base a questo criterio di uguaglianza.

Questa regola della maggioranza permette quindi nella maggior parte dei casi di decidere quale delle tre relazioni (maggiore, minore, uguale) vale tra due numeri iperreali α e β. Si possono però dare situazioni indecidibili quando abbiamo una situazione infinito contro infinito; per esempio dati questi due numeri:
$ \alpha = \left\langle 0, 1, 0, 1, 0, 1 ...\right\rangle \\ \beta = \left\langle 1, 0, 1, 0, 1, 0 ... \right\rangle $
quale è maggiore? Guardando gli elementi di posizione pari (0,2 ...) è maggiore β, guardando quelli dispari è maggiore α! Per risolvere queste situazioni dubbie occorre definire un insieme di regole che deve avere la struttura logica di un ultrafiltro (vedi sotto).

Un ultrafiltro risolve ogni caso dubbio

Per risolvere i casi dubbi, infinito vs infinito si deve stabilire una qualche regola $R$, per esempio che sono più importanti le posizioni pari {0,2,4 ...}. La regola $R$ che decide quale sottoinsieme prevale è in effetti un sottoinsieme di $\mathbb{N}$ insieme dei naturali, quello delle posizioni buone. Per esempio la regola che stabilisce che sono buone le posizioni pari, equivale all'insieme dei numeri pari $P = \left\lbrace{0,2,4,6 ... 2n ...}\right\rbrace \subset \mathbb{N}$
Come decidere questa regola? In effetti la scelta è arbitraria, l'importante sarà solo di realizzare un insieme di regole logicamente consistente, che eviti contraddizioni.
L'algebra astratta ci assicura che questo è possibile purché questo insieme di regole abbia la struttura logica di un ultrafiltro. Sono ovviamente possibili diversi insiemi di regole e quindi diversi ultrafiltri; già per l'esempio di sopra sono possibili due regole, quella che dà la prevalenza alle posizioni dispari e quella che dà la prevalenza alle posizioni pari.

Primo esempio	Secondo esempio
$ ε = \left\langle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} ... \frac{1}{n} ...\right\rangle \\ \frac{1}{4} = \left\langle \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4} ... \frac{1}{4} ...\right\rangle $ I primi tre elementi di ε sono maggiori di quelli di $\frac{1}{4}$ per il quarto elemento c'è uguaglianza, per tutti gli altri elementi che sono infiniti è maggiore $\frac{1}{4}$; quindi è definitivamente $$ε < \frac{1}{4}$$ e dal momento che lo stesso criterio vale per qualsiasi iperreale della forma $\frac{1}{N}$ questo prova che ε è un numero iperreale infinitamente piccolo.	Un secondo esempio importante: $ ω = \left\langle 1, {2}, {3}, {4} ... {n} ...\right\rangle \\ {4} = \left\langle {4}, {4}, {4}, {4} ... {4} ...\right\rangle $ I primi tre elementi di ω sono minori di quelli di ${4}$ per il quarto elemento c'è uguaglianza, per tutti gli altri elementi che sono infiniti è maggiore ω; quindi è definitivamente $$ ω > {4}$$ e dal momento che lo stesso criterio vale per qualsiasi iperreale ${N}$ questo prova che ω è un numero iperreale infinitamente grande.
Uguaglianza	Caso dubbio
Questo criterio della maggioranza vale anche per l'uguaglianza; per esempio dati i numeri: $ \zeta = \left\langle 1, 3, 5, 7, 9, 11 ... {2n+1} ... \right\rangle \\ \phi = \left\langle 5, 5, 5, 7, 9, 11 ... {2n+1} ... \right\rangle $ risulta $\zeta \ne \phi$ solo per i primi due elementi; tutti gli altri elementi sono uguali e quindi definitivamente è $$ \zeta = \phi $$ in parole diverse $\zeta$ e $\phi$ sono due rappresentazioni diverse dello stesso numero. A un maggiore livello di astrazione un numero iperreale può definirsi come la classe di equivalenza delle sequenze infinite uguali in base a questo criterio di uguaglianza.	Questa regola della maggioranza permette quindi nella maggior parte dei casi di decidere quale delle tre relazioni (maggiore, minore, uguale) vale tra due numeri iperreali α e β. Si possono però dare situazioni indecidibili quando abbiamo una situazione infinito contro infinito; per esempio dati questi due numeri: $ \alpha = \left\langle 0, 1, 0, 1, 0, 1 ...\right\rangle \\ \beta = \left\langle 1, 0, 1, 0, 1, 0 ... \right\rangle $ quale è maggiore? Guardando gli elementi di posizione pari (0,2 ...) è maggiore β, guardando quelli dispari è maggiore α! Per risolvere queste situazioni dubbie occorre definire un insieme di regole che deve avere la struttura logica di un ultrafiltro (vedi sotto).
Un ultrafiltro risolve ogni caso dubbio
Per risolvere i casi dubbi, infinito vs infinito si deve stabilire una qualche regola $R$, per esempio che sono più importanti le posizioni pari {0,2,4 ...}. La regola $R$ che decide quale sottoinsieme prevale è in effetti un sottoinsieme di $\mathbb{N}$ insieme dei naturali, quello delle posizioni buone. Per esempio la regola che stabilisce che sono buone le posizioni pari, equivale all'insieme dei numeri pari $P = \left\lbrace{0,2,4,6 ... 2n ...}\right\rbrace \subset \mathbb{N}$ Come decidere questa regola? In effetti la scelta è arbitraria, l'importante sarà solo di realizzare un insieme di regole logicamente consistente, che eviti contraddizioni. L'algebra astratta ci assicura che questo è possibile purché questo insieme di regole abbia la struttura logica di un ultrafiltro. Sono ovviamente possibili diversi insiemi di regole e quindi diversi ultrafiltri; già per l'esempio di sopra sono possibili due regole, quella che dà la prevalenza alle posizioni dispari e quella che dà la prevalenza alle posizioni pari.