I numeri iperreali in analisi vengono di solito rappresentati come variabili o incognite, e indicati con simboli di variabili, per esempio 3x - 3dx e simili. È possibile rappresentarli anche con numeri decimali come i numeri reali?
Sono naturalmente possibili diverse rappresentazioni; riportiamo qui la più usata (nota anche come rappresentazione Ultrapower).
Un numero iperreale si rappresenta semplicemente con una sequenza numerabile di numeri reali, un po' come un numero reale si rappresenta con una sequenza infinita di cifre decimali. Se la sequenza segue una qualche regola esprimibile come formula di n, il numero iperreale può abbreviarsi in questa formula.
Possiamo distinguere tre famiglie di numeri iperreali:
| Numeri iperreali infinitamente grandi o illimitati o infiniti | $ \omega = \left \langle 1, 2, 3, 4, 5 \ldots n \ldots\right \rangle = \left \langle n \right \rangle \\ \psi = \left \langle 1, 4, 9, 16, 25 \ldots n^2 \ldots\right \rangle = \left \langle n^2 \right \rangle = \omega^2 \\ \chi = \left \langle 1, 2, 4, 8, 16, 32 \ldots 2^n \ldots\right \rangle = \left \langle 2^{n-1} \right \rangle = 2^{\omega - 1} $ | |
|---|---|---|
| Numeri iperreali infinitamente piccoli o infinitesimi | $ \epsilon = \left \langle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5} \ldots 1/n \ldots \right \rangle = \frac{1}{\omega} \\ \eta = \left \langle 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25} \ldots \frac{1}{n^2} \ldots\right \rangle = \epsilon^2 \\ \alpha = \left \langle \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \ldots \left(\frac{1}{2} \right )^n \ldots\right \rangle = \left(\frac{1}{2} \right )^{\omega} $ | |
| Numeri iperreali finiti o limitati | $ a = \left \langle 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 \ldots \right \rangle = 1 \\ b = \left \langle 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 \ldots \right \rangle = 3 \\ \zeta = \left \langle 1, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32} \ldots (2^{n+1}-1)/2^n \ldots\right \rangle \simeq 1 \ numero\ di\ Zenone \\ 2 + \epsilon = \left \langle 3, \frac{5}{2}, \frac{9}{4}, \frac{11}{5} \ldots \frac{2n + 1}{n} \ldots \right \rangle = \frac{2\omega + 1}{\omega} \simeq 2 $ |
Gli esempi sopra mostrano come l'aritmetica iperreale ricalchi passo passo l'aritmetica ordinaria: la somma di due numeri iperreali si ottiene sommando termine a termine, lo stesso per le altre operazioni aritmetiche (prodotto, quoziente, potenza).
Nella maggior parte dei casi considerati in questo ipertesto, i numeri iperreali potranno esprimersi come qui sopra in funzione dei numeri reali e del numero illimitato $ \omega = \left \langle 1, 2, 3, 4, 5 \ldots n \ldots\right \rangle $; il suo reciproco è il numero infinitesimo $ \epsilon = \left \langle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5} \ldots \frac{1}{n} \ldots \right \rangle $.
In questo ipertesto, quando non altrimenti indicato, ε e ω indicheranno sempre questi due numeri iperreali fondamentali; in ogni caso si intenderà sempre senza eccezioni $ εω = 1 $.
I numeri a e b sono numeri iperreali limitati, in quanto tutti gli elementi sono uguali. Di fatto rappresentano i numeri reali 1 e 3. Un po' come i numeri reali che comprendono irrazionali e razionali, così gli iperreali comprendono anche i numeri reali.
Gli ultimi due numeri ε e ζ sono numeri iperreali infinitesimi positivi, nel senso che sono sempre maggiori di zero e al tempo stesso minori di un qualsiasi reale; nel linguaggio dell'analisi classica potremmo dire che la successione tende a zero.
Questa rappresentazione ha il pregio di rappresentare in modo uniforme sia i numeri infinitamente grandi, sia gli infinitamente piccoli.
Si possono rappresentare anche numeri negativi, per esempio:
Non è sempre semplice decidere che cosa rappresenta una data sequenza di numeri reali. Per esempio la sequenza:
$ c = \left\langle 1, \frac{1}{2}, 3, 1, 1, 1, 1, 1 \ldots \right\rangle $
differisce da a solo per il secondo e il terzo numero (intendendo che tutti i numeri successivi siano 1); si conviene allora in base a una naturale regola della maggioranza, che anche questa sequenza che è quasi dappertutto 1, rappresenta il numero 1.
Generalizziamo questo esempio in questa regola: due numeri iperreali che hanno tutti gli elementi uguali, salvo per un numero finito di elementi, sono uguali. Un insieme di numeri naturali che ha come complemento a N un insieme finito si dice cofinito.
La regola del sottoinsieme cofinito si estende anche al caso di numeri infiniti o infinitesimi. Per esempio
$ \omega' = \left\langle 1, 12, 3, 34, 5, 6, 7, 8 \ldots \right\rangle = \omega \\ \epsilon' = \left\langle 1, 12, \frac{1}{3}, 34, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8} \ldots \right\rangle = \epsilon $
Resta il caso più spinoso nel quale questa regola della maggioranza non è applicabile, e cioé quando ci sono due sottoinsiemi entrambi infiniti.
In questo caso si devono dare regole arbitrarie, per esempio la sequenza:
$ γ = \left\langle 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0 \ldots \right\rangle $
può rappresentare il numero 1 se si stabilisce la regola che i numeri di posto dispari prevalgono su quelli pari, mentre vale 0 se si sceglie una regola opposta che privilegi i posti pari.
In definitiva si tratta di dare un insieme di regole che per ogni partizione di N in due sottoinsiemi infiniti, ci dica quale dei due è il sottoinsieme buono. Perché questo insieme di regole che chiameremo U, che è poi di fatto un insieme di sottoinsiemi di N sia coerente, occorre che U abbia la struttura di un ultrafiltro, struttura logica ben nota nella teoria degli insiemi.
In parole povere l'ultrafiltro è l'insieme delle regole (di fatto sottoinsiemi di $N$) per decidere tra due sottoinsiemi quale prevale.
A questo punto possiamo dare una definizione più rigorosa di numero iperreale: dato l'insieme potenza $ R \times R \times R ... = R^ω $ (tutte le possibili successioni numerabili di numeri reali) e la relazione di equivalenza definita sopra (uguaglianza in base all'ultrafiltro) i numeri iperreali sono definiti dalle corrispondenti classi di equivalenza. L'insieme dei numeri iperreali coincide quindi con l'insieme quoziente definito sull'insieme potenza per mezzo dell'ultrafiltro. Di qui il nome di Ultrapower dato a questa costruzione dei numeri iperreali.