Se i numeri infinitamente piccoli o infinitesimi sono numeri minori di ogni numero finito, analogamente si possono definire numeri infinitamente grandi(*) o infiniti(*) o illimitati come numeri maggiori di ogni numero naturale limitato. Un numero infinito $ω$ è dunque un numero tale che:

$$ \forall n \in \mathbb{N} : ω > n $$

Nell'insieme dei numeri reali non esiste alcun numero che sia maggiore di ogni $n$; però esiste certamente, per qualsiasi $n$, un numero reale $ x $ che soddisfa ognuna delle seguenti condizioni:

$ x > 1 \\ x > 2 \\ x > 3 \\ \cdots \\ x > n \\ \cdots \\ $

Analogamente a quanto si è visto per gli infinitesimi, per il teorema di compattezza, segue che esiste un insieme non-standard che contiene anche i numeri infinitamente grandi.

Si definisce numero infinitamente grande o illimitato o infinito un numero iperreale formato da una sequenza illimitatamente crescente di numeri, per esempio:

$ ω = \left \langle 1, 2, 3, 4, 5, 6 \ldots n \ldots\right \rangle = \left \langle n \right \rangle \\ ω' = \left \langle 1, 1, 2, 2, 3, 3 \ldots n \ldots\right \rangle < ω \\ ω^2 = \left \langle 1, 4, 9, 16, 25 \ldots n^2 \ldots\right \rangle = \left \langle n^2 \right \rangle > ω \\ 2^ω = \left \langle 1, 2, 4, 8, 16, 32 \ldots 2^n \ldots\right \rangle = \left \langle 2^{n-1} \right \rangle > ω $

Il numero $ω$ che prenderemo come numero infinito fondamentale è il reciproco del numero infinitesimo fondamentale $ε$ :

$ \omega = \left \langle 1, 2, 3, 4, 5 \ldots n \ldots\right \rangle = \left \langle n \right \rangle \\ \epsilon = \left \langle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5} \ldots \frac{1}{n} \ldots\right \rangle = \left \langle \frac{1}{n} \right \rangle $ $$ ωε=1 \quad ε= \frac{1}{ω} \quad ω = \frac{1}{ε} $$

I numeri iperreali definiti in cifre soddisfanno la condizione classica. Infatti confrontando il numero $ω$ con un qualsiasi numero naturale $n$ comunque grande:

$ \omega = \left \langle 1, 2, 3 \ldots n, n+1, n+2 \ldots\right \rangle \\ n = \left \langle n, n, n \ldots n, n, n \ldots\right \rangle $

si osserva che solo i primi $n$ elementi di $ω$ sono minori di $n$, tutti gli altri e sono infiniti sono maggiori di $n$, quindi per la regola della maggioranza, e qui è una maggioranza infinita, risulta definitivamente:

$$ ω > n $$

Anche per gli infiniti esiste una discreta varietà di notazioni; fu Georg Cantor il primo a usare l'ultima lettera greca $ω$ per i numeri ordinali infiniti, Robinson nel suo libro usa ancora $ω$ e così molti altri testi; il Keisler usa invece la maiuscola $H$, altri testi come il Roberts e il Goldblatt, usano comunque lettere latine maiuscole come $I M N$ per indicare i numeri infinitamente grandi.

In questo ipertesto $ω$ rappresenta il numero infinito fondamentale definito sopra, reciproco di $\epsilon$. In effetti si potrebbero fare altre scelte per definire $ω$ ed $ε$, la cosa veramente importante è che siano uno il reciproco dell'altro. Quindi si intenderà sempre che come che sia definito il numero infinitamente grande $ω$, $ε$ sarà il suo reciproco e quindi $ωε = 1$. Altri generici numeri infinitamente grandi saranno indicati con lettere latine maiuscole $H, M, N$.

Piuttosto equivoco l'uso del simbolo classico dell'infinito $\infty$: nell'analisi classica che nega l'infinito attuale, è solo un simbolo di comodo da usare nei limiti, negli integrali per indicare la tendenza all'infinito. In questo ipertesto il simbolo $\infty$ viene usato occasionalmente per un qualsiasi numero infinitamente grande.

Il numero $ω$ definito sopra, essendo costituito solo di numeri naturali può essere considerato un esempio di numero ipernaturale. L'insieme degli ipernaturali si indica con $ * \mathbb{N}$. Analogamente si possono definire gli insiemi $ * \mathbb{Z}$ (iperinteri, positivi e negativi) e $ * \mathbb{Q}$ (iperrazionali, positivi e negativi).

Alcuni autori hanno proposto di considerare questi numeri infinitamente grandi come equivalenti ai numeri ordinali infiniti di Cantor, anche loro indicati con la lettera omega. Ci sono in effetti molte analogie, ma anche qualche differenza, per esempio il fatto che $ω$ è il primo numero ordinale, relativo all'insieme ordinato $(1,2,3, 4 ...)$ mentre il secondo numero $ω+1$ è quello di $(2,3, 4 ... 1)$. Viceversa non esiste un primo numero infinitamente grande.