Definizione di derivata

La definizione di derivata
Negli esempi della derivata di $x^2$ e di potenze superiori abbiamo usato un metodo che può essere generalizzato, fino ad avere una formula generale per il calcolo della derivata. Consideriamo un generico punto $P(x, y)$ della generica funzione di equazione $y = f(x)$ e un punto $P'$ infinitamente vicino:: $$ \begin{cases} P(x;y) \\ P'(x+dx;y+dy) \end{cases}$$ ma essendo entrambi sulla stessa curva deve sempre essere $y = f(x)$ e quindi: $$ P'(x+dx; f(x+dx)$$ Ne segue che deve essere(*): $$ y + dy = f(x + dx) $$ e poiché $y = f(x)$: $$ dy = f(x+dx)-f(x) $$ e dividendo tutto per $dx$: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} $$ Questa non è ancora la derivata. Infatti il quoziente tra due infinitesimi è, in generale, un numero iperreale con una parte reale e una infinitesima, e per la derivata ci serve solo la parte reale, quindi possiamo scrivere che: $$ f'(x) = st \left( \frac{dy}{dx} \right) = st \left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) $$	La derivata viene definita come la parte standard del quoziente tra infinitesimi $ \frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon} $ (che in generale sarà un numero iperreale) $ f'(x) = st \left(\frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon} \right) $ La derivata ha ovviamente senso solo per funzioni continue come già notato(). Alternativamente si può usare il simbolo di infinitamente vicino. $ f'(x) \simeq \frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon} $ anche se in questo modo occorre aggiungere la condizione che $f'(x)$ sia un numero reale; non è detto che tra due numeri infinitamente vicini ce ne sia uno reale. Questa definizione presuppone che ad un qualsiasi incremento infinitesimo $\epsilon$ della $x$ corrisponda un incremento infinitesimo della $f(x)$ e quindi che $f(x)$ sia continua; se anche la derivata è continua la funzione di dice derivabile*. A questa definizione viene di solito aggiunta la clausola: “se per ogni infinitesimo non nullo $\epsilon$ la parte standard esiste ed è sempre la stessa”, condizione superflua per le funzioni continue e derivabili. Per esempio la funzione valore assoluto $y = \|x\|$ per $x=0$ è continua, ma la derivata dipende dal segno dell'infinitesimo $\epsilon$; se è $\epsilon \gt 0$ si avrebbe $f'(0) = st \left( \frac{\epsilon - 0 }{\epsilon} \right) = 1 $ mentre se è $\epsilon \lt 0$ si avrebbe $f'(0) = st \left( \frac{-\epsilon - 0}{\epsilon} \right) = -1 $; qui il risultato dipende dall'infinitesimo usato, e la funzione non è derivabile per $x=0$. Alternativamente si può dire che ha derivata destra diversa dalla derivata sinistra; di fatto però $f'(0)$ resta indefinita. Finché si considerano funzioni continue ed illimitatamente derivabili, quali sono i polinomi, sinusoidi e cosinusoidi, funzioni esponenziali, questo problema non si pone.

La definizione di derivata

Negli esempi della derivata di $x^2$ e di potenze superiori abbiamo usato un metodo che può essere generalizzato, fino ad avere una formula generale per il calcolo della derivata.

Consideriamo un generico punto $P(x, y)$ della generica funzione di equazione $y = f(x)$ e un punto $P'$ infinitamente vicino:: $$ \begin{cases} P(x;y) \\ P'(x+dx;y+dy) \end{cases}$$ ma essendo entrambi sulla stessa curva deve sempre essere $y = f(x)$ e quindi: $$ P'(x+dx; f(x+dx)$$ Ne segue che deve essere(*): $$ y + dy = f(x + dx) $$ e poiché $y = f(x)$: $$ dy = f(x+dx)-f(x) $$ e dividendo tutto per $dx$: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} $$

Questa non è ancora la derivata. Infatti il quoziente tra due infinitesimi è, in generale, un numero iperreale con una parte reale e una infinitesima, e per la derivata ci serve solo la parte reale, quindi possiamo scrivere che: $$ f'(x) = st \left( \frac{dy}{dx} \right) = st \left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) $$

La derivata viene definita come la parte standard del quoziente tra infinitesimi $ \frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon} $ (che in generale sarà un numero iperreale)

$ f'(x) = st \left(\frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon} \right) $

La derivata ha ovviamente senso solo per funzioni continue come già notato(*).

Alternativamente si può usare il simbolo di infinitamente vicino.

$ f'(x) \simeq \frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon} $

anche se in questo modo occorre aggiungere la condizione che $f'(x)$ sia un numero reale; non è detto che tra due numeri infinitamente vicini ce ne sia uno reale.

Questa definizione presuppone che ad un qualsiasi incremento infinitesimo $\epsilon$ della $x$ corrisponda un incremento infinitesimo della $f(x)$ e quindi che $f(x)$ sia continua; se anche la derivata è continua la funzione di dice derivabile.

A questa definizione viene di solito aggiunta la clausola: “se per ogni infinitesimo non nullo $\epsilon$ la parte standard esiste ed è sempre la stessa”, condizione superflua per le funzioni continue e derivabili.

Per esempio la funzione valore assoluto $y = |x|$ per $x=0$ è continua, ma la derivata dipende dal segno dell'infinitesimo $\epsilon$; se è $\epsilon \gt 0$ si avrebbe $f'(0) = st \left( \frac{\epsilon - 0 }{\epsilon} \right) = 1 $ mentre se è $\epsilon \lt 0$ si avrebbe $f'(0) = st \left( \frac{-\epsilon - 0}{\epsilon} \right) = -1 $; qui il risultato dipende dall'infinitesimo usato, e la funzione non è derivabile per $x=0$. Alternativamente si può dire che ha derivata destra diversa dalla derivata sinistra; di fatto però $f'(0)$ resta indefinita.

Finché si considerano funzioni continue ed illimitatamente derivabili, quali sono i polinomi, sinusoidi e cosinusoidi, funzioni esponenziali, questo problema non si pone.

X Si aggiunge di solito la clausola: “se per ogni intinitesimo $\varepsilon$ la parte standard esiste ed è sempre la stessa”, condizione superflua per le funzioni continue e derivabili; in effetti se la condizione non è soddisfatta siamo in presenza di qualche discontinuità della derivata. Infatti ammettere che ad un incremento infinitesimo della $x$ corrisponda un incremento infinitesimo della $y$ equivale ad ammettere che la funzione sia continua, non faccia salti. In questa prima parte consideriamo solo funzioni continue e quindi possiamo accettare così com'è questa definizione.