| $$D_x{x^2} = 2x $$ |
Come esempio di calcolo di derivata alla maniera di Leibnitz, proviamo a calcolare la derivata della funzione $ y = x^2 $, graficamente la parabola elementare, quella che ha il vertice nell'origine.
Come primo caso troviamo la tangente alla parabola nel punto P(1, 1); la tangente in questo punto passa per $P$ e per un punto infinitamente vicino $P'$. Le coordinate dei punti sono allora: $$ \begin{cases} P(1;1) \\ P'(1+dx;1+dy) \end{cases}$$ ma essendo entrambi sulla parabola deve sempre essere $y = x^2 $e quindi: $$ P'(1+dx; (1+dx)^2)$$ Ne segue che deve essere: $$ 1 + dy = (1 + dx)^2 $$
$ \require{cancel} \cancel{1} + dy = \cancel{1} + 2{dx} + {dx}^2 $
e per trovare il coefficiente angolare m della tangente, basta dividere $dy$ per $dx$:
$$ m = \frac{dy}{dx} = 2 + dx \simeq 2$$
Ma per il coefficiente angolare ci interessa solo la parte reale, è quindi si ha $ m = 2 $(vedi grafico a lato).
Il metodo di Leibniz permette però di risolvere il problema della tangente in forma generale; invece di calcolare volta per volta il coefficiente angolare $m$ che è un numero, si calcola una funzione che fornisce $m$ per ogni $x$, funzione detta la derivata di $x^2$ rispetto a $x$.
Invece di considerare un punto $P$ particolare consideriamo un generico punto$ P(x, y)$ della parabola $y = x^2$ e un punto $P'$ infinitamente vicino:: $$ \begin{cases} P(x;y) \\ P'(x+dx;y+dy) \end{cases}$$ ma essendo entrambi sulla parabola deve sempre essere $y = x^2 $e quindi: $$ P'(x+dx; (x+dx)^2)$$ Ne segue che deve essere: $$ y + dy = (x + dx)^2 $$ e poiché $y = x^2$: $$ \require{cancel} \cancel{y} + dy = \cancel{x^2} + 2{x}{dx} + {dx}^2 $$
e per trovare il coefficiente angolare $m$ della tangente, basta dividere $dy$ per $dx$:
$$ m = \frac{dy}{dx} = 2{x} + dx \simeq 2x $$
Ma $2x$ è un funzione di $x$ detta funzione derivata o brevemente derivata e si scrive $$y' = f'(x) = 2x$$ o anche usando il simbolo di Eulero:
$$ D_x{x^2} = 2{x} $$
che si legge Derivata rispetto a $x$ di $x^2$. La funzione di partenza viene detta funzione primitiva.
I grafici qui sopra, mostrano come la funzione derivata $y' = 2x$ permetta di calcolare il coefficiente angolare della tangente per ogni valore della $x$.
In alternativa si poteva usare la formula vista nella pagina citata:
$$ m = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) $$
e sostituendo $f(x)$ con $x^2$ si ha:
$$ \require{cancel} m = st \left( \frac{(x + dx)^2 - x^2}{dx} \right) = st \left(\frac{\cancel{x^2} + 2 {dx} + {dx}^2 \cancel{-x^2}}{dx} \right) = st(2{x} + {dx}) = 2{x} $$ e analogamente nel caso generale.
Questo esempio di calcolo della derivata alla maniera di Leibniz si presta bene per illustrare le obiezioni del Berkeley al calcolo infinitesimale; questi fece notare che Leibnitz considerava $dx$ diverso da zero nel momento in cui divideva tutto per $dx$ (cosa illecita se $dx = 0$), e alla fine invece considerava di fatto $dx = 0$ nel momento in cui lo eliminava dalla derivata. Per Berkeley dunque il calcolo era intrinsecamente contradditorio e gli infinitesimi erano ghosts of departed quantities, fantasmi di quantità defunte.
L'Analisi Non Standard permette oggi di superare le obiezioni del Berkeley intronducento la funzione parte standard intesa come parte reale e la relazione di infinitamente vicino. E l'uguaglianza di sopra può essere riscritta in modo più rigoroso in uno dei due seguenti modi:
$$ \frac{dy}{dx} \simeq 2{x} $$
$$ st \left(\frac{dy}{dx} \right) = 2{x} $$