Fu il problema della tangente a una curva che portò Leibniz a definire il concetto di derivata di una funzione.
La tangente a una curva in un suo punto $P$ può definirsi intuitivamente come la retta che interseca (tocca) la curva in $P$ senza attraversarla(*); in modo più generale la tangente è la retta che ha la stessa pendenza della curva in $P$; in sostanza la tangente è importante proprio perché ci dà la direzione della curva in $P$.
Come trovare la tangente? Con i metodi dell'algebra è possibile trovare il coefficiente angolare della tangente a una curva di secondo grado (conica), imponendo che il sistema tra l'equazione della curva e quella del fascio di rette per il punto dato abbiano una sola soluzione, ovvero che il discriminante (o delta) sia uguale a zero.
Ma questo metodo ha il difetto di essere piuttosto laborioso e soprattutto di essere valido solo per le coniche; per curve algebriche di grado superiore il problema diventa intrattabile.
Leibniz vede la tangente come la retta che interseca una curva in due punti infinitamente vicini (nel disegno $P(x;y)$ e $P'(x+dx;y+dy)$). Il coefficiente angolare della tangente è allora semplicemente il quoziente tra l'incremento infinitesimo della $y$ che Leibniz scrive $dy$ e l'incremento infinitesimo della $x$ che Lebniz scrive $dx$:
$$ m = \frac{dy}{dx} $$
Se la curva si può scrivere come funzione $y = f(x)$ la retta per i due punti si trova risolvendo il sistema di due equazioni:
$$ \begin{cases} y & = f(x) \\ y + dy & = f(x + dx) \end{cases} $$
Sottraendo la prima dalla seconda equazione:
$$ dy = f(x + dx) - f(x) $$
e quindi il coefficiente angolare $m$ della tangente vale:
$$ m = \frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} $$
Questa formula permette di calcolare il coefficiente angolare, se, come è quasi sempre possibile, il quoziente può semplificarsi applicando le ordinarie regole dell'algebra in un numero o funzione che sarà la somma di una parte reale e di una infinitesima; ma $m$ deve essere un numero reale e quindi si prende in considerazione solo la parte reale del quoziente, che nella NSA si chiama parte standard, simbolo $st$:
$$ m = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) $$
In generale $m$ non sarà una costante(*) ma sarà funzione di $x$; questa funzione si chiama funzione derivata o brevemente derivata o derivata di y rispetto a x.
$$ f'(x) = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) $$ o anche, sottintendendo ovviamente che $f'(x)$ sia reale: $$ f'(x) \simeq \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} $$
Un esempio semplice di calcolo della derivata in questa maniera è quello della derivata di $x^2$.
Il simbolo $\frac{dy}{dx}$ introdotto da Leibniz è tuttora usato come simbolo della derivata, anche se in verità non è esattamente la derivata, ma ci è infinitamente vicino. Ancor più usato è il meno ingombrante simbolo di Lagrange, semplicemente un apice (apostrofo) che può aggiungersi alla variabile dipendente o alla f di funzione:
$$ y' = f'(x) \simeq \frac{dy}{dx} $$
Da notare il simbolo $\simeq$ infinitamente vicino al posto di quello di uguale; in effetti la derivata $f'(x)$ è uguale al rapporto tra infinitesimi solo dopo aver scartato gli infinitesimi; e la relazione di infinitamente vicino equivale appunto a uguale a meno di infinitesimi.
