Con Cartesio nasce la geometrica analitica (forse sarebbe più appropriato chiamarla geometria algebrica): moltissimi problemi geometrici si trasformano in problemi algebrici. Per esempio l'intersezione tra due curve si trasforma in un sistema di due equazioni algebriche; traslazioni, rotazioni, simmetrie di una figura si riducono a trasformazioni algebriche che consistono di due o tre equazioni, secondo che si lavori nel piano o nello spazio 3D.
Uno dei problemi più spinosi era quello della tangente: trovare l'equazione della retta tangente a una curva algebrica in un suo punto, o anche da un punto esterno.
Il problema si risolve facilmente per le curve di secondo grado (le coniche) imponendo che il sistema tra la curva e il fascio di rette che passa per il punto abbia una sola soluzione, ovvero discriminante nullo (Δ = 0)
Questo metodo è però molto macchinoso e vale solo per le curve di secondo grado. Dopo Cartesio molti matematici si ingegnarono a cercare metodi più efficienti e generali per trovare la tangente, per esempio ebbe un certo successo il metodo di Sluse; mancava però un metodo generale per trattare il problema-
Questo metodo fu introdotto da Leibniz con il concetto di derivata. L'idea di Leibniz, rappresentata nel disegno a lato, è che la tangente è la retta che passa per due punti P e P' infinitamente vicini, nel senso che la distanza tra i due punti sia infinitesima.
Chiamando dx e dy i due incrementi infinitesimi della curva passando da P a P', il coefficiente angolare m della tangente è:
$$ m = \frac{dy}{dx} $$
Dato che dx e dy sono variabili, di fatto questa uguaglianza definisce m come funzione di x; questa funzione è detta funzione derivata, brevemente derivata, e dà per ogni valore della x il coefficiente angolare della retta tangente.
