Per Leibniz infinitesimo è un numero $dx$ maggiore di zero e al tempo stesso minore di qualsiasi numero reale per quanto piccolo; scritto in simboli:

$$ 0 < {dx} < \frac{1}{N} $$

dove N è un numero naturale (intero) grande quanto si vuole. Non esistono numeri reali con una tale proprietà, quindi gli infinitesimi sono numeri nuovi detti anche infinitamente piccoli o non archimedei nel senso che non rispettano il postulato di Eudosso-Archimede. Possono anche vedersi come numeri infinitamente vicini a zero.

Per i numeri infinitesimi Leibniz postula (ma non dimostra) il principio di estensione: ai numeri infinitesimi si estendono tutte le proprietà dell'algebra ordinaria: associativa, commutativa, distributiva ecc.ecc.

Usando la notazione in cifre (Ultrapower) il numero infinitesimo più semplice è: $$ \epsilon = \left \langle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5} \ldots \frac{1}{n} \ldots \right \rangle $$

Nella stessa notazione i due numeri 0 e $ \frac{1}{N} $ si rappresentano così:

$ \ 0 = \left \langle 0, 0, 0, 0, 0 \ldots 0 \ldots \right \rangle \\ \frac{1}{N} = \left \langle \frac{1}{N}, \frac{1}{N}, \frac{1}{N}, \frac{1}{N}, \frac{1}{N} \ldots \frac{1}{N} \ldots \right \rangle $

Ora in base alla regola della maggioranza per il confronto tra iperreali, è immediato verificare che $ε > 0$ (unanimità, tutti i termini di ε sono maggiori di zero). Un po' meno immediato che $ \epsilon < \frac{1}{N} $. Ma è sufficiente osservare che fino al termine N-simo ε è maggiore di $ \frac{1}{N} $ ma per tutti gli infiniti termini dopo la N-sima posizione è vero il contrario, ε è minore e quindi c'è una maggioranza infinita.

In conclusione è verificato che:

$ 0 < \epsilon < \frac{1}{N} $

e quindi il numero $ε$ soddisfa le condizioni di Leibniz; i $dx$ di Leibniz sono infinitesimi variabili; un generico infinitesimo sarà un multiplo di $ε$, p.es. $2ε, 3ε \frac{ε}{2} ...$ o una sua potenza p.es. $ε^2, ε^3 ...$.

Analogamente si verifica che sono infinitesimi i seguenti numeri:

$ \eta = \left \langle 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25} \ldots \frac{1}{n^2} \ldots\right \rangle = \epsilon^2 \\ \alpha = \left \langle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \ldots \frac{1}{2^n} \ldots\right \rangle $

L'ultimo è il numero di Achille nel primo paradosso di Zenone. Usando la nozione di infinitamente vicino si può anche dire che un numero infinitesimo è un numero infinitamente vicino allo zero: $ \epsilon \simeq 0 ; \alpha \simeq 0 $.

Leibniz usò per indicare gli infinitesimi i simboli $dx$ (leggi de ics), $dy$ in genere con riferimento agli assi cartesiani e alle variabili $x$, $y$; $dx$ va quindi inteso come incremento infinitesimo della variabile $x$.

Molto usato nei testi di Analisi non standard l'uso di lettere greche come $δ, ε, η$, chiaramente ispirato all'Analisi di Cauchy e Weierstrass dove però quei simboli indicano numeri reali molto piccoli, ma non infinitesimi.

In questo ipertesto ho preferito mantenere la notazione di Leibniz, in particolare per le derivate dove è utile mantenere un legame con il nome delle variabili; per il resto invece uso le lettere greche, con la convenzione di usare il simbolo $\epsilon$ per indicare il numero infinitesimo fondamentale: $ \varepsilon = \left \langle \ldots \frac{1}{n} \ldots \right \rangle $.

Dopo il ritorno dell'infinitesimo dagli anni '60 è nata una discreta varietà di simboli per rappresentare gli infinitesimi. Alcuni autori usano $\Delta{x}$ invece di $dx$, altri ancora usano uno strano simbolo formato da due cerchietti concentrici detto hype $\hype$.

Come si è visto nell'insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali non esiste alcun numero con la suddetta proprietà; però esiste certamente un numero reale che soddisfa l'insieme finito di condizioni:

$ 0 < x < \frac{1}{2} \\ 0 < x < \frac{1}{3} \\ 0 < x < \frac{1}{4} \\ \cdots \\ 0 < x < \frac{1}{n} $

In Logica si dimostra il teorema di compattezza predicativa: se esiste un insieme K infinito di proposizioni (o predicati), e un modello M nel quale ogni sottoinsieme finito di K è valido, allora si può definire un modello M* non-standard nel quale l'intero K è soddisfatto.

Ora se prendiamo come modello M l'algebra dei reali, e come K l'insieme di predicati di cui sopra, il teorema garantisce che è possibile costruire un modello non-standard, quello dei numeri iperreali R* che ai numeri reali aggiunge gli infinitesimi e che conserva tutte le proprietà algebriche dei reali.

In pratica un infinitesimo è un numero che soddisfa contemporaneamente tutte le infinite proposizioni di K; quindi la proposizione $ 0 < {dx} < \frac{1}{N} $ deve essere vera per tutti gli infiniti N naturali.

L'analisi fondata sui numeri iperreali si chiama coerentemente Analisi Non Standard.