| Proprietà | Esempi | |
|---|---|---|
| Somma | $ st((a + bε) + (c + d ε)) = st(a + bε) + st(c + dε) = a + c $ | $ st((2 + 3ε) + (3 - 2ε)) \\ = st(2 + 3ε) + st(3 - 2ε) = 5 $ |
| Prodotto | $ st((a + bε)(c + dε)) = st(ac + bc ε + ad ε +ε^2) = ac \\ st((a + bε)(c + dε)) = st(a + bε).st(c + dε) $ | $ st((2 + 3ε) \times (3 - 2ε)) = 6 $ |
| Quoziente | $ st \left( \frac{a + bε}{c + dε} \right) = \frac{st(a + bε)}{st(c + dε)} = \frac{a}{c} $ | $ st \left( \frac{2 + 3ε}{3 + 2ε} \right) = \frac{2}{3} $ |
| $ \begin{array}{r | c} \\ +a + \quad bε & c + dε \\ -a - \frac{ad}{c}ε &―――――― \\――――――& \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2}ε \\ \frac{bc-ad}{c}ε & \end{array} $ | $ \begin{array}{r | c} \\ +2 + \quad 3ε & 3 + 2ε \\ -2 - \frac{4}{3}ε &―――――― \\――――――& \frac{2}{3} + \frac{5}{9}ε \\ \frac{5}{3}ε & \end{array} $ | |
| Numeri infinitamente grandi | ||
| Quoziente infinito |
$ \frac{a+bε}{cε} = \frac{a}{bε}+ \frac{bε}{cε} = \frac{a}{b}ω + \frac{b}{c} = ±\infty $
[il segno dipende ovviamente dal segno di a e di b] |
$ \frac{2 + 3 ε}{0 + 2ε} = +ω + \frac{3}{2} = +\infty $
$ \frac{2 + 3 ε}{0 - 2ε} = -ω - \frac{3}{2} = -\infty $ |
Nella NSA ha importanza la funzione $ st(z) $, detta parte standard, che ad un qualsiasi numero iperreale z associa la sua parte reale, p.es.
$ st(1 + ε) = 1 \\ st(2 + 2 ε) = 2 $
Il concetto di parte standard è strettamente legato a quello di infinitamente vicino, nel senso che la parte standard è il numero reale infinitamente vicino a z:
$ st(z) = x → z \simeq x $
Non è necessariamente vero il viceversa perché x e z potrebbero essere entrambi non reali; per esempio $ 1+ε \simeq 1 + 2ε $ senza che nessuno dei due sia la parte standard.
La parte standard gode di alcune semplici proprietà che sono riportate nello specchietto a destra; la dimostrazione è banale, salvo per il caso del quoziente che può essere giustificato usando la classica regola per la divisione dei polinomi estesa agli iperreali; queste proprietà ricalcano quelle dei limiti nell'analisi classica.
In particolare la parte standard è una funzione lineare: $st(w + z)=st(w)+st(z)$ e $st(kz)= k st(z)$
Una difficoltà è che la funzione $st(z)$ non è definita se $z$ è un iperreale infinitamente grande; infatti non esiste un numero reale che sia infinitamente vicino a un iperreale infinito.
In questo caso a mo' di surrogato ho usato il classico simbolo $ \infty $ da intendersi come un qualsiasi numero infinitamente grande. Estendendo in tal senso la funzione st(z) agli infiniti si avrebbe $ st(ω) = \infty $ ma una simile estensione non è usata dai testi di NSA.