La derivata della potenza

Primi passi nel calcolo infinitesimale → Derivate fondamentali

La derivata di x^2 - La derivata del polinomio - Integrale della potenza

La derivata di $y = x^3$ e di $y = x^n$

Derivata della potenza
$$ D_x x^n = n x^{n-1} $$

Estendendo il procedimento usato per $y = x^2$ possiamo calcolare la derivata di $y = x^3$

$$ y + dy = (x + dx)^3 $$

e, svolgendo il cubo del binomio(*) e ricordando che è $y=x^3$:

$$\require{cancel} \cancel{y}+dy = \cancel{x^3}+3x^2dx+3x.dx^2+dx^3$$

$$dy = 3x^2dx+3x.dx^2+dx^3$$

e, dividendo tutto per dx:

$$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 3x.dx + dx^2$$

e calcolando la parte standard (parte reale che si ottiene eliminando gli infinitesimi):

$$st \left( \frac{dy}{dx}\right) = 3x^2$$

$D_x x^3 = 3x^2$

Verificato che $ D_x{x^2} = 2x$ e $D_x{x^3} = 3x^2$ si intuisce che c'è una regola più generale valida per qualsiasi potenza ennesima $x^n$. Usiamo lo stesso metodo, semplicemente sostituendo a 2 o 3 la variabile intera $n$:

$$y + dy = (x + dx)^n$$

eliminando la $y$ e svolgendo la potenza del binomio (dove ${_nC_2}$ è il numero di combinazioni di 2 oggetti estratti da n, ovverosia il 2º coefficiente della riga n del triangolo di Tartaglia):

$\require{cancel} \cancel{y} + dy = \cancel{x^n} + n x^{n - 1}dx + {_nC_2}x^{n-2}{dx}^2 + ... + dx^n$

$dy = n x^{n - 1}dx + {_nC_2}x^{n-2}dx^2 + ... + dx^n$

e quindi dividendo tutto per dx:

$$\frac{dy}{dx} = nx^{n - 1} + {_nC_2} x^{n-2}dx + ... + dx^n$$

e calcolando la parte standard (parte reale che si ottiene eliminando gli infinitesimi):

$$ st \left( \frac{dy}{dx}\right) = n x^{n - 1}$$

$$D_x{x^n} = nx^{n - 1}$$

Questa regola può riassumersi in questa regoletta: "La derivata di una potenza si ottiene portando fuori l'esponente e diminuendo di uno l'esponente della potenza".

Esercizi

Calcolare la derivata della funzione $f(x)=x^4$ in due modi: 1) usando un procedimento analogo a quello sopra; 2) usando la formula $D_x{x^n} = nx^{n - 1}$ (*)
Calcolare la derivata della funzione $f(x)=x^5$ in due modi: 1) usando un procedimento analogo a quello sopra; 2) usando la formula $D_x{x^n} = nx^{n - 1}$
Qual è la potenza che ha per derivata $8x^7$? (*)
Qual è la funzione che ha per derivata $x^7$? (*)
Qual è la funzione che ha per derivata $x^n$? (*)
Qual è la funzione che ha per derivata $x$?

Osservazioni

Questo risultato è valido per tutti gli esponenti interi positivi, per i quali è valido il binomio di Newton. È notevole che la formula rimane valida anche per esponenti negativi (frazioni) e per esponenti razionali (radicali).

$ y = x^4 \\y + dy = (x + dx)^4 $

sostituisco $y$ nella seconda equazione con $x^4$ e applico la regola per la potenza del binomio:

$ \require{cancel} \cancel{x^4} + dy = \cancel{x^4} + 4x^3{dx} + 6x^2{dx}^2 + 4x{dx}^3 + {dx}^4 $

$ dy = 4x^3{dx} + 6x^2{dx}^2 + 4x{dx}^3 + {dx}^4 $

divido tutto per $dx$:

$ \frac{dy}{dx} = 4x^3 + 6x^2{dx} + 4x{dx}^2 + {dx}^3 $

il quoziente di infinitesimi è:

$ \frac{dy}{dx} \simeq 4x^3 $ o che è lo stesso $ st \left(\frac{dy}{dx} \right) = 4x^3 $

e quindi: $ D_x x^4 = 4x^3 $

Applicando la formula $ D_x x^n = n x^{n-1} $ il risultato è immediato.

Ricordiamo la formula del cubo del binomio: $(A+B)^3=A^3+3A^2 B + 3 A B^2 + B^3 $ X

Si tratta di trovare una funzione $f(x)$ tale che $ D_x f(x) = 8x^7 $. La derivata abbassa sempre di 1 il grado della potenza quindi la funzione deve essere una potenza ottava: $f(x) = a x^8$. Resta solo da calcolare k che è evidentemente 1, infatti la derivata di $x^8$ è già $8x^7$ X

Si tratta di trovare una funzione $f(x)$ tale che $ D_x f(x) = x^7 $. Come sopra deve essere una funzione $f(x) = a x^8$ tale che $D_x{f(x)} = D_x{a x^8} = 8a x^7$. Ma perché la derivata sia proprio $x^7$ deve essere $8a = 1$ e quindi $a = \frac{1}{8}$. La funzione primitiva cercata è quindi $f(x) = \frac{1}{8}x^8$ ovvero $f(x) = \frac{x^8}{8}$ X

Generalizzando il procedimento dell'esercizio precedente si ha $ f(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ X