La derivata di un polinomio

La derivata è lineare - La derivata della potenza - Derivate successive → Integrale di un polinomio

Usando le proprietà lineari della derivata e la regola per la derivata della potenza, è facile calcolare la derivata di un qualsiasi polinomio, senza dover più far ricorso al metodo generale visto finora (vedi p.es. la derivata di x^2).

Poiché un polinomio è la somma di uno o più termini, basta calcolare la derivata di ognuno di questi e poi sommare. Ognuno di questi termini poi è il prodotto di un fattore costante (il coefficiente) per una potenza e quindi basterà moltiplicare il fattore costante per la derivata della potenza.

In definitiva derivare un polinomio rientra tra le operazioni più facili a farsi che a descriversi. Vediamo un esempio:

$y = 2x^3 + 5x^2 - 2x + 1\\ y' = 2 \times 3 {x^2} + 5 \times {2x} - 2 \times 1 + 0 = 6x^2 + 10x - 2$

Risultato che si può riassumere usando il simbolo di Eulero per la derivata ($D_x$):

$$D_x 2x^3 + 5x^2 - 2x + 1 = 6x^2 + 10x - 2$$

Si noti che la derivata di un polinomio è ancora un polinomio, ma di grado diminuito di 1.

Esercizi

Calcolare $D_x (2x^4 -3x^2 + 1)$.(*)
Calcolare e semplificare $D_x (x^6 -2x^3 + 1)$.(*)
Calcolare e semplificare $D_x (x^4 -4x^2 + 4)$.
Qual è la funzione che ha per derivata $2x+1$? Il problema ha una sola soluzione?(*)
Qual è la funzione che ha per derivata $x^2-4x$?(*)
Qual è la funzione che ha per derivata $x^3-3x^2$?

$D_x (2x^4 -3x^2 + 1) = 2 \times 4x^3 - 3 \times 2x = 8{x^3} - 6x$. X

$D_x (x^6 -2x^3 + 1) = 6x^5 - 6 x^2 = 6x^2(x^3 - 1)$ X

Chiamiamo f(x) la funzione cercata, deve essere $f'(x) = 2x+1$ e quindi deve essere la somma di due termini cha abbiano rispettivamente per derivata $2x$ e $1$. Ora ricordiamo che $2x$ è la derivata del quadrato $x^2$, mentre $1$ è la derivata di $x$, quindi deve essere $f(x) = x^2 + x$.

Però anche la funzione $f(x) = x^2 + x +1$ ha per derivata $2x+1$! E in effetti anche $f(x) = x^2 + x +2$ e qualsiasi polinomio della forma $f(x) = x^2 + x + c$ dove c è un qualsiasi numero reale positivo o negativo, poco importa perché la derivata di una costante è comunque nulla.

Anche qui stiamo cercando una f(x) che abbia derivata $f'(x) = x^2-4x$ e anche qui deve essere la somma di termini che abbiano come derivate rispettivamente $x^2$ e $-2x$. Ricordando la derivata $D_x x^3 = 3x^2$ notiamo che è il triplo della $x^2$; quindi invece di $x^3$ basta prendere la sua terza parte $\frac{x^3}{3}$ per avere derivata $x^2$, infatti $D_x \frac{x^3}{3} = \frac{1}{3} D_x x^3 = \frac{1}{3} 3x^2 = x^2$. Analogamente per $4x$: se la derivata di $x^2$ è $2x$ allora per avere derivata $4x$ occorre $2x^2$.

In definitiva una funzione che ha la derivata voluta è $\frac{x^3}{3} + 2x^2$ ma per le considerazioni fatte a proposito dell'esercizio precedente la soluzione generale è $\frac{x^3}{3} + 2x^2 + c$