L'operazione di derivata associa a una funzione di variabile reale $f(x)$ detta primitiva una funzione derivata $f'(x)$ (vedi definizione di derivata); nulla vieta di ripetere l'operazione, ottenendo una derivata della derivata, detta derivata seconda e indicata con un doppio apice $f''(x)$.
Per esempio data la funzione (polinomio) $y = f(x) = -2x^2+x-1$ si ottengono successivamente:
la derivata prima: $y' = f'(x) = -4x+1$
e la derivata seconda: $y'' = f''(x) = -4$
L'operazione si può ripetere quante volte si vuole; per esempio data la funzione $y = f(x) = x^4+x^3-3x^2+x-1$ si ottengono le derivate successive (l'ordine è indicato con un numero romano scritto come apice)
la derivata prima: $y' = f'(x) = 4x^3+3x^2-6x+1$
$y'' = f''(x) = 12x^2+6x-6$
$y^{iii} = f^{iii}(x) = 24x+6 \\ y^{iv} = f^{iv}(x) = 24 \\ y^{v} = f^{v}(x) = 0$
dopo di che tutte le derivate successive sono ovviamente zero come la quinta.
Appare evidente che la derivata ennesima di un polinomio di grado $n$ è costante, tutte le derivate successive sono nulle.
In particolare le derivate successive della potenza $y = f(x) = x^n$ sono:
$f'(x) = nx^{n-1}\\f''(x) = n(n-1)x^{n-2}\\...\\f^{(n-1)}(x) = n!x \\f^{(n)}(x) = n!\\f^{(n+1)}(x) = 0$
Quindi la derivata ennesima della potenza $x^n$ è il fattoriale di $n$, e tutte le derivate di ordine superiore a $n$ sono nulle.
Calcolare tutte le derivate successive delle seguenti funzioni polinomiali: