Tra le derivate successive ha particolare importanza la derivata seconda, che ha un significato importante in geometria e in fisica.
Per esempio data la parabola generica $y = ax^2+bx+c$ si ottengono successivamente le derivate:
derivata prima: $y' = 2ax+b$
derivata seconda: $y'' = 2a$
Quindi la derivata seconda di un polinomio di secondo grado ha lo stesso segno di $a$ che come è noto misura l'apertura della parabola; in particolare se $a$ è negativo la concavità della parabola è verso il basso, se è positivo la concavità è verso l'alto.
Mostriamo ora in modo visivo che questo significato della derivata seconda si estende a qualsiasi funzione $f(x)$.
La derivata seconda fondamentalmente è la derivata della derivata, (ovverosia l'incremento dell'incremento). Geometricamente la derivata prima è la pendenza della tangente a una curva; la derivata seconda misura quindi l'incremento della pendenza; se la pendenza diminuisce la curva pende sempre più verso il basso e quindi abbiamo concavità verso il basso (vedi figura a lato).
Se viceversa la pendenza aumenta la curva pende sempre più verso l'alto e quindi abbiamo concavità verso l'alto (vedi figura a lato).
Calcolare tutte le derivate successive delle seguenti funzioni polinomiali: