Definizione di derivataRegole di derivazioneDerivate successive
La derivata seconda
Significato della derivata seconda

Galleria immagini

Tra le derivate successive ha particolare importanza la derivata seconda, che ha un significato importante in geometria e in fisica.

Per esempio data la parabola generica $y = ax^2+bx+c$ si ottengono successivamente le derivate:

derivata prima: $y' = 2ax+b$

derivata seconda: $y'' = 2a$

Quindi la derivata seconda di un polinomio di secondo grado ha lo stesso segno di $a$ che come è noto misura l'apertura della parabola; in particolare se $a$ è negativo la concavità della parabola è verso il basso, se è positivo la concavità è verso l'alto.


Mostriamo ora in modo visivo che questo significato della derivata seconda si estende a qualsiasi funzione $f(x)$.

La derivata seconda fondamentalmente è la derivata della derivata, (ovverosia l'incremento dell'incremento). Geometricamente la derivata prima è la pendenza della tangente a una curva; la derivata seconda misura quindi l'incremento della pendenza; se la pendenza diminuisce la curva pende sempre più verso il basso e quindi abbiamo concavità verso il basso (vedi figura a lato).

Se viceversa la pendenza aumenta la curva pende sempre più verso l'alto e quindi abbiamo concavità verso l'alto (vedi figura a lato).



Esercizi

Calcolare tutte le derivate successive delle seguenti funzioni polinomiali: