Una proprietà della derivata è che la derivata della somma di due funzioni è la somma delle derivate delle due funzioni. Come esempio calcoliamo la derivata di $y = x^3 + x^2$

$y = x^3 + x^2 \\y +{dy}= (x+dx)^3 + (x+dx)^2$

sostituento come al solito la $y$ e sviluppando le potenze si ha:

$\require{cancel} \cancel{x^3 + x^2} +{dy}= \cancel{x^3}+3x^2{dx}++3x{dx}^2+{dx}^3 + \cancel{x^2}+2x{dx}+{dx}^2$

$ {dy} = +3x^2{dx} + 3x{dx}^2 + {dx}^3 + 2x{dx}+{dx}^2$

$ \frac{dy}{dx} = + 3x^2+3x{dx} + {dx}^2 + 2x + {dx}$

$ D_x \left(x^3+x^2 \right ) = st \left( \frac{dy}{dx} \right ) = +3x^2 + 2x $

È evidente che la cosa è valida per qualsiasi somma di potenze, in ogni caso alla fine si scartano tutti gli infinitesimi e restano solo le derivate delle due funzioni; per una dimostrazione generale vedere la pagina proprietà lineari della derivata che ci autorizza ad affermare che $D_x \left(x^3 + x^2 \right) = D_x x^3 + D_x x^2$ e più in generale che $$ D_x f(x)+g(x) = D_x f(x) + D_x g(x)$$

Un'altra proprietà è che la derivata del prodotto di una costante per una funzione è il prodotto della costante per la derivata della funzione. In altre parole un fattore costante si può portar fuori dall'operazione di derivata. Come esempio calcoliamo la derivata di $y = 3{x}^2$:

$y = 3x^2 \\y +{dy}= 3(x+dx)^2$

sostituento come al solito la $y$ e sviluppando le potenze si ha:

$ {3x^2} + {dy}= 3(x^2+2x{dx}+{dx}^2)$

$\require{cancel} \cancel{3x^2} +{dy}= \cancel{3x^2} + 6x{dx} + 3{dx}^2 $

${dy}= 6x{dx} + 3{dx}^2$

$\frac{dy}{dx} = 6x + 3{dx}$

$st \left(\frac{dy}{dx} \right) 6x \\D_x 3x^2 = 6x$

La derivata è quindi $6x$ e cioè tre volte la derivata di $x^2$. Generalizzando:

$$D_x k f(x) = k D_x f(x)$$

Queste due proprietà sono dette proprietà lineari e riassumendo la derivata è detta un'operazione lineare.

Si noti che non tutte le operazioni matematiche sono lineari: non lo è per esempio il quadrato di un binomio (il quadrato di un binomio non è la somma dei quadrati, c'è anche il doppio prodotto), non lo è il radicale di un binomio (il radicale di una somma non è la somma dei radicali).