| Dxf(x)+g(x)=Dxf(x)+Dxg(x) Dxkf(x)=kDxf(x) |
Una proprietà della derivata è che la derivata della somma di due funzioni è la somma delle derivate delle due funzioni. Come esempio calcoliamo la derivata di y=x3+x2
y=x3+x2y+dy=(x+dx)3+(x+dx)2
sostituento come al solito la y e sviluppando le potenze si ha:
\require{cancel} \cancel{x^3 + x^2} +{dy}= \cancel{x^3}+3x^2{dx}++3x{dx}^2+{dx}^3 + \cancel{x^2}+2x{dx}+{dx}^2
{dy} = +3x^2{dx} + 3x{dx}^2 + {dx}^3 + 2x{dx}+{dx}^2
\frac{dy}{dx} = + 3x^2+3x{dx} + {dx}^2 + 2x + {dx}
D_x \left(x^3+x^2 \right ) = st \left( \frac{dy}{dx} \right ) = +3x^2 + 2x
È evidente che la cosa è valida per qualsiasi somma di potenze, in ogni caso alla fine si scartano tutti gli infinitesimi e restano solo le derivate delle due funzioni; per una dimostrazione generale vedere la pagina proprietà lineari della derivata che ci autorizza ad affermare che D_x \left(x^3 + x^2 \right) = D_x x^3 + D_x x^2 e più in generale che D_x f(x)+g(x) = D_x f(x) + D_x g(x)
Un'altra proprietà è che la derivata del prodotto di una costante per una funzione è il prodotto della costante per la derivata della funzione. In altre parole un fattore costante si può portar fuori dall'operazione di derivata. Come esempio calcoliamo la derivata di y = 3{x}^2:
y = 3x^2 \\y +{dy}= 3(x+dx)^2
sostituento come al solito la y e sviluppando le potenze si ha:
{3x^2} + {dy}= 3(x^2+2x{dx}+{dx}^2)
\require{cancel} \cancel{3x^2} +{dy}= \cancel{3x^2} + 6x{dx} + 3{dx}^2
{dy}= 6x{dx} + 3{dx}^2
\frac{dy}{dx} = 6x + 3{dx}
st \left(\frac{dy}{dx} \right) 6x \\D_x 3x^2 = 6x
La derivata è quindi 6x e cioè tre volte la derivata di x^2. Generalizzando:
D_x k f(x) = k D_x f(x)
Queste due proprietà sono dette proprietà lineari e riassumendo la derivata è detta un'operazione lineare.
Si noti che non tutte le operazioni matematiche sono lineari: non lo è per esempio il quadrato di un binomio (il quadrato di un binomio non è la somma dei quadrati, c'è anche il doppio prodotto), non lo è il radicale di un binomio (il radicale di una somma non è la somma dei radicali).
