Per ricavare la regola conviene partire dalla definizione di derivata:

$$ D_x f(x) = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) $$

Se ora abbiamo invece di f(x) la somma di due funzioni f(x)+g(x) la derivata deve essere

$ D_x f(x) = st \left( \frac{f(x + dx) + g(x + dx) - (f(x) + g(x)}{dx} \right) $

e basta applicare la proprietà commutativa della somma per avere

$ D_x f(x) = st \left(\frac{f(x + dx) - f(x) + g(x + dx) - g(x)}{dx}\right) $

e applicando le proprietà della parte standard:

$ D_x f(x) = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}\right) + st \left( \frac{g(x + dx) - g(x)}{dx} \right) = D_x f(x) + D_x g(x)$

come volevasi dimostrare.

Anche qui conviene partire dalla definizione di derivata:

$$ D_x f(x) = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) $$

Se ora consideriamo k.f(x) si ha:

$ D_x k f(x) = st \left( \frac{kf(x + dx) - kf(x)}{dx} \right) $

e mettendo in evidenza il fattore k:

$ D_x k f(x) = st \left( \frac{k(f(x + dx) - f(x))}{dx} \right) $

e applicando le proprietà della parte standard:

$ D_x k f(x) = k st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) = k D_x f(x) $

come volevasi dimostrare.

Per riassumere queste dimostrazioni in poche parole, le proprietà lineari della derivata discendono direttamente dalle proprietà lineari della parte standard. A differenza di questa però non vale la proprietà del prodotto di parti standard, la derivata del prodotto NON è il prodotto delle derivate, ma c'è una regola specifica nota anche coma regola di Leibniz.

$y = f(x) = 3x^2 - 4x$

$D_x 3x^2 - 4x = D_x 3x^2 - D_x 4x = 3 \times 2 {x} - 4 \times 1 = 6x - 4$

$y = f(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x}{3} + 1$

$D_x \frac{x^2}{2} - \frac{x}{3} + 1 = \frac{2x}{2} - \frac{1}{3} + 0 = {x} - \frac{1}{3}$