Primi passi nel calcolo infinitesimale → Integrale indefinito
L'integrale di un polinomio
Derivata di un polinomio - Integrale della potenza

Analogamente alla derivata l'integrale indefinito di un polinomio può sempre calcolarsi usando le proprietà lineari e la regola per l'integrale della potenza.

Poiché un polinomio è la somma di uno o più termini, basta calcolare l'integrale di ognuno di questi e poi sommare. Ognuno di questi termini sarà il prodotto di un fattore costante (il coefficiente) per una potenza e quindi basterà moltiplicare il fattore costante per l'integrale della potenza.

In definitiva integrare un polinomio è solo un poco più complicato della derivata. Vediamo un esempio:

$ \int{2x^3 + 5x^2 - 2x + 1}{dx} = 2 \frac{x^4}{4} + 5 \frac{x^3}{3} - 2 \frac{x^2}{2} + x + c \\ = \frac{1}{2} x^4 + \frac{5}{3} x^3 - {x^2} + x + c$

Si noti che l'integrale di un polinomio è ancora un polinomio, ma di grado aumentato di 1.

Esercizi
  1. Calcolare $\int{2x^4 -3x^2 + 5}{dx}$.(*)
  2. Calcolare e semplificare $\int{x^6 -2x^3 + 1}{dx}$.(*)
  3. Calcolare e semplificare $\int{x^4 -4x^2 + 4}{dx}$.
$\int(2x^4 -3x^2 + 5){dx} = \frac{2}{5} x^5 - x^3 + 5 x + c$. X
$\int{x^6 -2x^3 + 1}{dx} = \frac{1}{7}x^7 - \frac{1}{2}x^4 + x + c$ X

Chiamiamo f(x) la funzione cercata, deve essere $f'(x) = 2x+1$ e quindi deve essere la somma di due termini cha abbiano rispettivamente per derivata $2x$ e $1$. Ora ricordiamo che $2x$ è la derivata del quadrato $x^2$, mentre $1$ è la derivata di $x$, quindi deve essere $f(x) = x^2 + x$.

Però anche la funzione $f(x) = x^2 + x +1$ ha per derivata $2x+1$! E in effetti anche $f(x) = x^2 + x +2$ e qualsiasi polinomio della forma $f(x) = x^2 + x + c$ dove c è un qualsiasi numero reale positivo o negativo, poco importa perché la derivata di una costante è comunque nulla.

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Anche qui stiamo cercando una f(x) che abbia derivata $f'(x) = x^2-4x$ e anche qui deve essere la somma di termini che abbiano come derivate rispettivamente $x^2$ e $-2x$. Ricordando la derivata $D_x x^3 = 3x^2$ notiamo che è il triplo della $x^2$; quindi invece di $x^3$ basta prendere la sua terza parte $\frac{x^3}{3}$ per avere derivata $x^2$, infatti $D_x \frac{x^3}{3} = \frac{1}{3} D_x x^3 = \frac{1}{3} 3x^2 = x^2$. Analogamente per $4x$: se la derivata di $x^2$ è $2x$ allora per avere derivata $4x$ occorre $2x^2$.

In definitiva una funzione che ha la derivata voluta è $\frac{x^3}{3} + 2x^2$ ma per le considerazioni fatte a proposito dell'esercizio precedente la soluzione generale è $\frac{x^3}{3} + 2x^2 + c$

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