| $$ \int {x^n}{dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$$ |
Calcolare l'integrale della funzione $x^2$ equivale a chiedersi: "Qual è la funzione che ha per derivata $x^2$?".
Ricordando che la derivata di una potenza $x^n$ è $n x^{n-1}$, ed ha quindi sempre grado inferiore di uno, risulta evidente che l'integrale dovrà avere grado superiore di uno; quindi l'integrale di $x^2$ dovrà essere di terzo grado, quindi contenere il fattore $x^3$. Ma la derivata di $x^3$ è $3 x^2$ e cioè il triplo della funzione di cui stiamo cercando l'integrale; quindi, semplicemente, l'integrale dovrà essere la terza parte di $x^3$ e quindi in definitiva:
$$ \int{x^2}{dx}= \frac{x^3}{3}$$
Questa è certamente una soluzione del problema. Ma è l'unica? Non ci vuole molto a convincersi che non è così. Ricordando che la derivata di una costante è zero, la derivata di $\frac{x^3}{3} +1$ è ugualmente $x^2$ e lo stesso vale per qualsiasi numero reale positivo o negativo si metta al posto di uno. Ne segue che la soluzione completa è:
$$ \int{x^2}{dx}= \frac{x^3}{3} + c$$
e la regola generale per esponente intero positivo qualsiasi(*):
$$ \int {x^n}{dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$$Qui possiamo solo asserire che questo risultato è valido per tutti gli esponenti interi positivi; come per le derivate si verifica poi che la formula rimane valida anche per esponenti negativi (frazioni) e per esponenti razionali (radicali); con una eccezione: l'integrale di $\frac{1}{x} = {x}^{-1}$ che darebbe una frazione con esponente zero.
X
$$ \int{x^4}{dx}= \frac{2}{5}x^5 + c$$
X$$ \int{x}{dx}= \frac{x^2}{2} + c$$
X$$ \int{2}{dx}= 2x + c$$
X