La derivata di y = x<sup>2

D x² alla maniera di Leibniz	D x² in NSA
Come esempio di calcolo di derivata alla maniera di Leibnitz, proviamo a calcolare la derivata della funzione y = x². Incrementiamo le due variabili x e y di un infinitesimo, rispettivamente dx e dy: y + dy = (x + dx)² A questo punto calcoliamo il quadrato del binomio secondo l'ordinaria regola dell'algebra: y + dy = x² + 2 x dx + (dx)² Ma ricordando che è, per definizione, y = x², possiamo sottrarre i primi termini dei due membri dell'equazione, ottenendo: dy = 2 x dx + (dx)² A questo punto per ottenere la derivata dy/dx, è sufficiente dividere tutto per dx, ottenendo: dy ---- = 2x + dx dx A questo punto Leibnitz ricorda che l'infinitesimo dx è trascurabile rispetto a 2x che è un numero reale e quindi conclude che la derivata di y = x² è: dy ---- = 2x dx	Nell'analisi non standard di Robinson la derivata si definisce come la parte standard di dy/dx; il procedimento è quello di Leibniz ma alla fine l'eliminazione finale del dx è pienamente giustificata. f'(x) = st(2x + dx) = 2x In questo modo sono superate le obiezioni del Berkeley (vedi sotto).
D x² in SIA
Nella SIA il procedimento è un po' diverso; data la definizione di derivata: f(x + dx) = f(x) + f'(x).dx si ha sostituendo x² a f(x) (x + dx)² = x² + f'(x).dx e calcolando il quadrato del numero iperreale x + dx tenendo conto che dx² = 0 x² + 2x.dx = x² + f'(x).dx ed eliminando i due termini uguali x²: 2x.dx = f'(x).dx E quindi dividendo tutto per dx: 2x = f'(x)
Le obiezioni del Berkeley
Questo esempio di calcolo della derivata alla maniera di Leibniz si presta bene per illustrare le obiezioni del Berkeley al calcolo infinitesimale; questi fece notare che Leibnitz considerava dx diverso da zero nel momento in cui divideva tutto per dx (cosa illecita se dx = 0), e alla fine invece considerava di fatto dx = 0 nel momento in cui lo eliminava dalla derivata. Per Berkeley dunque il calcolo era intrinsecamente contradditorio e gli infinitesimi erano ghosts of departed quantities, fantasmi di quantità defunte.

D x² alla maniera di Leibniz

D x² in NSA

Come esempio di calcolo di derivata alla maniera di Leibnitz, proviamo a calcolare la derivata della funzione y = x². Incrementiamo le due variabili x e y di un infinitesimo, rispettivamente dx e dy:

 y + dy = (x + dx)²

A questo punto calcoliamo il quadrato del binomio secondo l'ordinaria regola dell'algebra:

 y + dy = x² + 2 x dx + (dx)²

Ma ricordando che è, per definizione, y = x², possiamo sottrarre i primi termini dei due membri dell'equazione, ottenendo:

 dy = 2 x dx + (dx)²

A questo punto per ottenere la derivata dy/dx, è sufficiente dividere tutto per dx, ottenendo:

 dy
---- = 2x + dx
 dx

A questo punto Leibnitz ricorda che l'infinitesimo dx è trascurabile rispetto a 2x che è un numero reale e quindi conclude che la derivata di y = x² è:

 dy
---- = 2x
 dx

Nell'analisi non standard di Robinson la derivata si definisce come la parte standard di dy/dx; il procedimento è quello di Leibniz ma alla fine l'eliminazione finale del dx è pienamente giustificata.

f'(x) = st(2x + dx) = 2x

In questo modo sono superate le obiezioni del Berkeley (vedi sotto).

D x² in SIA

Nella SIA il procedimento è un po' diverso; data la definizione di derivata:

f(x + dx) = f(x) + f'(x).dx

si ha sostituendo x² a f(x)

(x + dx)² = x² + f'(x).dx

e calcolando il quadrato del numero iperreale x + dx tenendo conto che dx² = 0

x² + 2x.dx = x² + f'(x).dx

ed eliminando i due termini uguali x²:

2x.dx = f'(x).dx

E quindi dividendo tutto per dx:

2x = f'(x)

Le obiezioni del Berkeley

Questo esempio di calcolo della derivata alla maniera di Leibniz si presta bene per illustrare le obiezioni del Berkeley al calcolo infinitesimale; questi fece notare che Leibnitz considerava dx diverso da zero nel momento in cui divideva tutto per dx (cosa illecita se dx = 0), e alla fine invece considerava di fatto dx = 0 nel momento in cui lo eliminava dalla derivata. Per Berkeley dunque il calcolo era intrinsecamente contradditorio e gli infinitesimi erano ghosts of departed quantities, fantasmi di quantità defunte.

Fonti bibliografiche e collegamenti