Consideriamo la funzione $y = x^n$ ...

$ \begin{cases} y = x^n \\ y + dy = (x + dx)^n \end{cases} $

sostituiamo y con $x^n$ e sviluppiamo la potenza del binomio ...

$ x^n + dy = x^n + nx^{n-1}{dx} + C_{n,2}x^{n-2}{dx}^2 + ... + {dx}^n $

eliminiamo $ x^n $

$ dy = nx^{n-1}{dx} + C_{n,2}x^{n-2}{dx}^2 + ... + {dx}^n $

per ricavare la derivata dividiamo per dx ...

$ \frac{dy}{dx} = \frac{nx^{n-1}{dx} + C_{n,2}x^{n-2}{dx}^2 + ... + {dx}^n}{dx} $

$ \frac{dy}{dx} = nx^{n-1} + C_{n,2}x^{n-2}{dx} ...$ (più infinitesimi di ordine superiore)

A questo punto ci interessa solo la parte reale, in altri termini:

$ \frac{dy}{dx} \simeq nx^{n-1} $

In parole: la derivata della potenza è data dal prodotto tra l'esponente e la potenza con esponente diminuito di 1.

Nella NSA la definizione di derivata è:

$ f'(x) = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) $

e per calcolare la derivata della potenza, basta sostituire $ x^{n}\ a\ f(x)$, ottenendo:

$ f'(x) = st \left( \frac{(x + dx)^n - x^n}{dx} \right) $

e quindi elevando alla ennesima potenza secondo il binomio di Newton:

$ f'(x) = st \left( \frac{(x + dx)^n - x^n}{dx} \right) = st \left( \frac{x^n + n x^{n-1}{dx} + C_{n, 2} x^{n-2}{dx}^2 + ... + {dx}^n - x^n}{dx} \right) $

I due termini $ x^n $ si elidono a vicenda e resta

$ st \left( \frac{nx^{n-1}{dx} + C_{n, 2}x^{n-2}{dx}^2 + ... + {dx}^n}{dx} \right) $

e dividendo con la proprietà distributiva per $ dx $, resta solo:

$ f'(x) = st \left( n x^{n-1} + C_{n, 2}{x^{n-2}{dx}} + ... \right) = nx^{n-1} $

come volevasi dimostrare.