Analisi infinitesimaleInsieme delle partiFiltro
Ultrafiltro
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Un filtro $\mathscr F$ che sia proprio (non contenga l'insieme vuoto) non può ovviamente contenere due insiemi disgiunti e in particolare non può contenere contemporaneamente un insieme $A$ e il suo complementare $\bar{A}$. Interpretando il filtro da un punto di vista logico, questo equivale al principio di non contraddizione. Questo però non basta a garantire che uno dei due, o $A$ o $\bar{A}$, appartenga sempre al filtro (equivale al principio del terzo escluso).

Se aggiungiamo questa terza condizione alle due che definiscono un filtro, abbiamo quello che si definisce ultrafiltro. Riassumendo si hanno tre condizioni:(*)

  1. $ (A \in \mathscr F) \land (B \in \mathscr F) \Leftrightarrow (A \cap B \in \mathscr F)$
  2. $ (A \in \mathscr F) \land (A \subseteq B \subseteq U) \Rightarrow (B \in \mathscr F)$
  3. $ (A \in \mathscr F) \Leftrightarrow (\bar{A} \notin \mathscr F)$

Prima osservazione: un ultrafiltro è necessariamente proprio, non può contenere l'insieme vuoto; infatti questo è complementare dell'insieme U che appartiene sempre ad un filtro.

Se l'insieme universo U è finito con N elementi (per esempio $U = \left\lbrace{1,2,3,4}\right\rbrace$), l'ultrafiltro è necessariamente un filtro principale; infatti almeno uno tra i sottoinsiemi di U con cardinalità $N-1$ (del tipo U tolto un elemento), per esempio $U - \left\lbrace{a}\right\rbrace$, non deve appartenere ad $\mathscr F$ altrimenti l'intersezione tra tutti i sottoinsiemi di $N-1$ elementi sarebbe vuota e dovrebbe appartenere ad $\mathscr F$, cosa impossibile per un ultrafiltro. Ma allora il complemento di $U - \left\lbrace{a}\right\rbrace$ che è $\left\lbrace{a}\right\rbrace$ deve appartenere all'ultrafiltro, e quindi l'ultrafiltro è principale.

Ma se l'insieme U è infinito, per esempio è l'insieme dei naturali $\mathbb{N}$, allora i sottoinsiemi del tipo $U - \left\lbrace{a}\right\rbrace$ sono infiniti e visto che nella definizione di ultrafiltro si parla solo di intersezioni finite, non è più necessario che gli insiemi unitari appartengano a $\mathscr F$; ne segue che sono possibili sia ultrafiltri principali sia ultrafiltri non principali.

Un ultrafiltro non principale deve quindi contenere tutti i sottoinsiemi cofiniti (se ne mancasse anche solo uno, U - B, l'ultrafiltro conterrebbe l'insieme finito B, quindi un sottoinsieme unitario di B e sarebbe principale); però il filtro cofinito $\mathscr F^{co}$ non è un ultrafiltro perché non contiene insiemi infiniti non cofiniti; per esempio l'insieme dei numeri pari $P = \left\lbrace{0, 2, 4, 6 ...}\right\rbrace$ è infinito ed ha per complemento un altro insieme infinito quello dei dispari $D = \left\lbrace{1, 3, 5, 7 ...}\right\rbrace$ e per la terza condizione uno dei due deve appartenere all'ultrafiltro.

Gli ultrafiltri non principali sono importanti a livello di fondamenti della NSA e dei numeri iperreali; per definire in modo completo uguaglianza e confronto tra iperreali è infatti necessario costruire un ultrafiltro, che in questo caso va interpretato come un insieme di regole per decidere quale tra due sottoinsiemi complementari è quello buono, quello che prevale.


Esercizi

  1. Costruire un ultrafiltro principale su $ U = \left\lbrace a, b, c, d, e\right\rbrace $.
Una formulazione equivalente e più simmetrica della definizione di ultrafiltro è la seguente:
  1. $ (A \in \mathscr F) \land (B \in \mathscr F) \Leftrightarrow (A \cap B \in \mathscr F)$
  2. $ (A \in \mathscr F) \lor (B \in \mathscr F) \Leftrightarrow (A \cup B \in \mathscr F)$
  3. $ (A \in \mathscr F) \Leftrightarrow (\bar{A} \notin \mathscr F)$
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