Supponiamo di dover preparare un dolce e di disporre di 4 ingredienti: cacao, latte, miele e zucchero. Quante combinazioni di ingredienti sono possibili? Nel diagramma a lato è mostrato uno schema completo.
In alto c'è la combinazione completa abbreviata in clmz usando solo le iniziali. Nel linguaggio insiemistico questo è l'insieme Universo, quello che comprende tutto e si scrive $\left\lbrace c, l, m, z \right\rbrace$. Le combinazioni incomplete di ingredienti sono parti o sottoinsiemi di U e sono mostrate più in basso, prima riga le parti con 3 ingredienti, seconda riga le parti con 2 ingredienti, terza riga le parti con un solo ingrediente; in fondo c'è il simbolo $\varnothing$ che sta per insieme vuoto. Anche questa è una possibilità: dei 4 ingredienti non usarne nessuno.
L'insieme di tutti i sottoinsiemi si chiama insieme delle parti (o insieme potenza) ed ha in tutto 16 elementi. Perché proprio 16? Ognuno dei 4 ingredienti può essere presente o non essere presente nella combinazione, quindi 2 possibilità per ogni ingrediente, $ 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$.
Nel diagramma con le frecce a lato ogni freccia indica la relazione di inclusione: l'insieme sotto è incluso, è sottoinsieme di quello in alto.
Insieme delle parti è dunque l'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme $U$ e si indica con $ \mathscr P(U)$.
Come esempio alternativo prendiamo $ U = \left\lbrace 1,2,3,4 \right\rbrace $; nel disegno a lato sono rappresentati tutti i suoi sottoinsiemi; come sopra le frecce blu rappresentano la relazione di sottoinsieme.
È importante rendersi conto che dal punto di vista logico o matematico si tratta della stessa identica struttura di quella degli ingredienti del dolce.
Un semplice modo di rappresentare un sottoinsieme in $\mathscr P(U)$ è per mezzo della funzione di appartenza $f(x)$ dove x è un elemento di U. Questa funzione vale 1 se x appartiene al sottoinsieme, vale 0 se non appartiene. Così il sottoinsieme $\left\lbrace 1,3 \right\rbrace $ si rappresenta con la sequenza dei valori della $f(x)$ che è 0101. Alternativamente si potrebbe dire che ogni sottoinsieme è rappresentato da un un numero binario di N cifre (dove N è il numero di elementi di U).
Quindi il numero 1111 rappresenta l'insieme universo, il numero 0000 l'insieme vuoto.
Dalla rappresentazione con numeri binari È immediato concludere che la cardinalità di $\mathscr P(U)$ è $2^N$. Infatti con N cifre binarie si possono rappresentare esattamente $2^N$ numeri.
Ha senso anche parlare di insieme delle parti di un insieme infinito. Per esempio dato l'insieme dei naturali $ \mathbb N = \left\lbrace 1,2,3,4 ... \right\rbrace$ l'insieme $ \mathscr P(\mathbb N)$ e l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di $ \mathbb N$ in altri termini di tutti i possibili insiemi finiti o infiniti di numeri naturali. Per maggiori dettagli si veda la pagina insieme delle parti di N.