Il confronto tra due numeri iperreali rappresentati con sequenze infinite di numeri reali non sempre è semplice; abbiamo stabilito una regola della maggioranza per il confronto tra iperreali. Il problema è che gli elementi di un iperreale sono infiniti e quindi se c'è una maggioranza infinito contro finito non si sono problemi, prevale il sottoinsieme infinito (detto cofinito, nel senso di complementare di un insieme finito).

Ma cosa fare quando abbiamo due sottoinsiemi entrambi infiniti? Per esempio il sottoinsieme delle posizioni pari P = {0, 2, 4, 6 ...} contro quello delle posizioni dispari D = {1, 3, 5, 7 ...} come nel numero iperreale $ \left\langle 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 ... \right\rangle $?

In sostanza definire completamente una regola equivale a definire un sottoinsieme di N (insieme dei numeri naturali) come P e D appunto.

La scelta è di fatto arbitraria, possiamo scegliere che prevalgono le posizioni pari e che quindi è buono l'insieme P = {0, 2, 4, 6 ...}; oppure potremmo scegliere come buono l'insieme delle posizioni dispari D = {1, 3, 5, 7 ...}. Se vale la regola P il numero $ \left\langle 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 ... \right\rangle $ è uguale a 0, se vale la regola D vale invece 1.

La domanda che sorge spontanea è: sarà possibile definire un insieme di regole $B$ che non si contraddicano tra di loro? Sarà sempre possibile scegliere le posizioni buone? Il problema è delicato ed ha, come è intuibile, a che fare con l'assioma della scelta.

Un primo ragionevole requisito è che se vale una regola $R$ (con $ R \subset N $) allora deve essere valido un qualsiasi insieme $S$ che contenga $R$; se $$ è maggioranza a maggior ragione lo sarà $S$. $$ (R \in B) \land (S \supset R) → S \in B $$

Un secondo ragionevole requisito è che se valgono due regole R ed S allora deve anche valere l'intersezione delle due regole. $$ (R \in B) \land (S \in B) → (R \cap S \in B) $$

Un terzo ovvio requisito è che se vale una regola $R$ non deve valere anche la sua complementare (Principio di non contraddizione). $$ (R \in B) → (\bar{R} \notin B) $$

In sostanza l'insieme $B$ delle regole $R$ deve avere la struttura di un ultrafiltro. Sono ovviamente possibili diversi insiemi di regole; già per l'esempio di sopra sono possibili due regole, quella che dà la prevalenza alle posizioni dispari e quella che dà la prevalenza alle posizioni pari.