$ \mathscr{P}(\mathbb{N})$: insieme delle parti di N
L'insieme delle parti si intende l'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme $U$ e si indica con $ \mathscr P(U)$.
Un caso particolarmente importante di insieme delle parti è $ \mathscr P(\mathbb N)$ definito sull'insieme dei naturali $ \mathbb N = \left\lbrace 0,1,2,3,4 ... \right\rbrace$.
Ogni elemento di $ \mathscr P(\mathbb N)$ è quindi un insieme di numeri naturali. Questi insiemi possono dividersi in tre famiglie:
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Insiemi finiti: sono gli insiemi che hanno un numero finito di elementi, per esempio: $ \left\lbrace 1 \right\rbrace $, $ \left\lbrace 1,2 \right\rbrace $, $ \left\lbrace 0, 2 \right\rbrace $. In questa famiglia possiamo includere anche l'insieme vuoto $\varnothing$ che ha zero elementi.
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Insiemi cofiniti: sono gli insiemi complementari ai precedenti e cioè gli insiemi di numeri naturali che hanno quasi tutti gli elementi di $\mathbb{N}$, dove il quasi tutti va inteso come tutti fatto salvo un numero finito di assenti. Cofinito è quindi sinonimo di complementare di un insieme finito. Per esempio è cofinito l'insieme $ \mathbb N - \left\lbrace 1 \right\rbrace= \left\lbrace 0, 2, 3, 4 ... \right\rbrace $. Tra i cofiniti va incluso anche l'insieme $\mathbb{N}$ complementare di $\varnothing$.
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Insiemi semplicemente infiniti: sono insiemi infiniti e al tempo stesso complementari di insiemi infiniti. Per esempio è infinito l'insieme dei numeri pari $ \mathbb P = \left\lbrace 0, 2, 4, 6 ... 2n ... \right\rbrace $ ed è al contempo infinito il suo complementare, l'insieme dei numeri dispari: $ \mathbb D = \left\lbrace 1, 3, 5, 7 ... 2n+1 ... \right\rbrace = \mathbb{N} - \mathbb{P}$
Facendo riferimento alla rappresentazione binaria, questa classificazione si riduce a una regola molto semplice:
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Insiemi cofiniti: sono rappresentati da un numero binario con un numero finito di 0 e un numero infinito di 1. Dopo l'ultimo 0 ci sono solo 1 all'infinito.
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Insiemi infiniti: sono rappresentati da un numero binario con un numero infinito di 0 e un numero infinito di 1. Non c'è un ultimo 1 né un ultimo 0.
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Insiemi finiti: sono rappresentati da un numero binario con un numero finito di 1 e un numero infinito di 0. Dopo l'ultimo 1 ci sono solo 0 all'infinito.
Esercizi
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Costruire l'insieme delle parti di $ U = \left\lbrace 0,1,2 \right\rbrace $; rappresentare tutti i sottoinsiemi con il corrispondente numero binario.
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Costruire l'insieme delle parti di $ U = \left\lbrace a, b, c, d, e \right\rbrace $; rappresentare tutti i sottoinsiemi con il corrispondente numero binario.