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Filtro finito Filtro finito su P(N) Filtro principale finito Filtro dolci con latte e miele Filtro principale dolci con miele

Nel linguaggio comune filtro è uno strumento che lascia passare solo alcuni elementi di un insieme, per esempio solo i granelli di polvere di cacao più fini che passano per le maglie di un colino; sul web e in informatica si chiama filtro uno strumento che restituisce l'insieme delle pagine di un sito o di tutto il web che contengono una data parola, o più date parole. I motori di ricerca sono in effetti nient'altro che filtri. Il motore di ricerca restituisce l'insieme di tutte le pagine che contengono la parola cercata, o le parole cercate.(*)

L'esempio del dolce per cominciare

Come esempio più semplice riprendiamo quello del dolce da farsi con 4 ingredienti, cacao, latte, miele, zucchero, visto nella pagina dell'insieme delle parti e supponiamo sia stato richiesto che il dolce contenga latte e miele. Questa condizione ovviamente riduce le combinazioni possibili a solo 4 schematizzate nel disegno a lato dove come al solito le frecce blu indicano la relazione di sottoinsieme.

Se invece si fosse richiesto un dolce che contenga comunque il miele si otterrebbe il diagramma a lato.

Coerentemente con quanto detto sopra, una struttura di questo tipo si chiama filtro. In questo esempio il filtro è l'insieme dei sottoinsiemi che contengono latte e miele ovvero che hanno come sottoinsieme {latte, miele}.

Il filtro gode quindi della proprietà che se un sottoinsieme è nel filtro, allora lo sono anche tutti i suoi soprainsiemi. Inoltre se due sottoinsiemi appartengono al filtro allora deve appartenervi anche la loro intersezione. I matematici hanno preso queste due proprietà come quelle che definiscono formalmente un filtro.

Matematicamente ...

Formalmente allora si può definire filtro $\mathscr F$ un sottoinsieme dell'insieme delle parti $\mathscr P(U)$ di un insieme universo U che soddisfa le seguenti due condizioni:

1. Se A e B sono due elementi di $ \mathscr F$ allora deve esserlo anche la sua intersezione: $ (A \in \mathscr F) \land (B \in \mathscr F) → (A \cap B \in \mathscr F)$
2. Se A è elemento di $ \mathscr F$ allora deve esserlo anche ogni suo soprainsieme B: $ (A \in \mathscr F) \land (A \subseteq B \subseteq U) → (B \in \mathscr F)$

Se il filtro $\mathscr F$ contiene anche l'insieme vuoto allora ogni sottoinsieme di U appartiene a $\mathscr F$ che quindi degenera nell'intero insieme delle parti $ \mathscr P(U)$; per questo un filtro $\mathscr F$ si dice proprio se non contiene l'insieme vuoto.

Ovviamente la definizione di filtro vale anche per U infinito. In particolare l'insieme di tutti i sottoinsiemi cofiniti di U è un filtro detto cofinito o di Frèchet ed ha simbolo $\mathscr F^{co}$. Infatti ogni soprainsieme di un sottoinsieme cofinito è a maggior ragione cofinito, e l'intersezione di due insiemi cofiniti è a sua volta cofinita essendo uguale al complementare dell'unione dei due complementari finiti, che è necessariamente finita.

Un filtro come quello visto all'inizio (tutti i dolci che contengono il miele, o tutte gli insiemi di numeri che contengono l'uno), e cioè l'insieme di tutti i soprainsiemi di un elemento base B di $ \mathscr P(U)$ si chiama filtro principale generato da B.

Se poi il filtro è l'insieme di tutti i sottoinsiemi che contengono un dato elemento $b$ allora si parla di ultrafiltro principale $\mathscr F^b$.

Rimando alla pagina sugli ultrafiltri per una definizione generale di ultrafiltro e maggiori dettagli,

Esercizi

1. Costruire il filtro principale su $ U = \left\lbrace 0,1,2,3,4 \right\rbrace $ basato sul sottoinsieme $ B = \left\lbrace 0,2,4 \right\rbrace $.
2. Costruire l'ultrafiltro principale su $ U = \left\lbrace 0,1,2,3,4 \right\rbrace $ basato sul sottoinsieme unitario $ B = \left\lbrace 3 \right\rbrace $.