I numeri infinitamente grandi hanno qualche relazione con gli ordinali di Cantor, vediamo di che cosa si tratta.
In matematica si chiama insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali, l'insieme(*): $$ \mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4 ... \}$$ I singoli numeri naturali $n$ possono essere associati a sottoinsiemi di $\mathbb{N}$; per esempio il numero $1$ all'insieme $\{1\}$, il numero $2$ all'insieme $\{1,2\}$ e così via.
Ma quale numero deve essere associato all'insieme $\mathbb{N}$?
Georg Cantor fu il primo a trattare di numeri simili, detti transfiniti; e introdusse il simbolo $\omega$ per indicare il numero associato a $\mathbb{N}$. Cantor considerava insiemi ordinati e per questo chiamò ordinali i numeri transfiniti così ottenuti. In effetti $\omega$ è solo il primo; per esempio se consideriamo l'insieme, ottenuto aggiungendo $0$ al di là, oltre tutti gli interi:
$$ (1, 2, 3, 4 ... 1) $$
possiamo definire il numero ordinale associato come $\omega + 1$ che è maggiore di $\omega$ infatti mettendo i due insiemi in corrispondenza uno a uno (biunivoca), avanza un numero alla fine. Analogamente
$$ (1, 2, 3, 4 ... 1, 2) = \omega + 2 $$
e così via. Esistono quindi infiniti numeri ordinali transfiniti.
In seguito Cantor si rese conto che rimuovendo la condizione che gli insiemi fossero ordinati, e quindi p.es. $\{3,1,2\} = \{2,1,3\}$ e introducendo il concetto di numero cardinale associato agli insiemi disordinati, restava un solo numero cardinale transfinito che chiamò $\aleph$ (Aleph) o potenza del numerabile; tutti gli insiemi infiniti visti sopra possono essere messi in corrispondenza biunivoca se opportunamente riordinati. Viceversa l'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ non può essere messo in corrispondenza biunivoca con $\mathbb{N}$ e quindi ha un numero cardinale maggiore di $\aleph$, detto potenza del continuo Un numero cardinale ancora maggiore è quello di tutte le possibili funzioni definiti su un intervallo finito, p.es. $ \left[ 0, 1\right]$. Questo terzo numero transfinito, detto potenza del funzionale è maggiore sia del numerabile sia del continuo.
Anche i numeri cardinali sono a loro volta infiniti.