La funzione esponenziale
Funzione esponenziale è una funzione che ha la variabile indipendente all'esponente, del tipo $ y = a^x$ con a numero reale positivo(*).
Il nome di funzione esponenziale è però di solito riservato alla funzione $ y = e^x $ dove $e$ è il numero di Nepero. La funzione può anche scriversi $ y = \exp(x)$.
L'andamento di questa funzione è abbastanza semplice. Alcune caratteristiche facilmente verificabili:
-
$\forall{x} : e^x > 0$ La funzione è sempre positiva; infatti una base positiva elevata a un qualsiasi esponente è sempre positiva; il grafico è quindi tutto al di sopra dell'asse $x$.
-
$ x_1 > x_0 \implies e^{x_1} > e^{x_0}$ ovverosia la funzione è strettamente crescente; basta osservare che il rapporto $\frac{e^{x_1}}{e^{x_0}}= e^{x_1-x_0}$ avendo esponente sicuramente maggiore di zero perché $x_1 > x_0$ è maggiore di 1, e quindi ne segue che $e^{x_1} > e^{x_0}$.
-
$ e^x > x$ avendo base $e > 2$ ed essendo $2^x>x$, a maggior ragione. Graficamente questo equivale a dire che il diagramma di $e^x$ sta tutto al di sopra della retta $y=x$ bisettrice del primo quadrante.
-
$ e^x \ge x+1$ come sopra ma si ha uguaglianza per $x=0$; in effetti $y=x+1$ è la retta tangente all'esponenziale nel punto $(0;1)$.
-
$ e^N > N$ (con $N$ infinitamente grande): estensione di $e^x > x$ agli infinitamente grandi; vedi funzioni esponenziali degli iperreali.
-
$ e^{-N} = \frac{1}{e^N}$ e quindi $ e^{-N}$ è infinitesima, vedi funzioni esponenziali degli iperreali.
-
$e^{\epsilon} = 1 + {\epsilon}$ vedi funzioni esponenziali degli iperreali.
-
la funzione $e^x$ è continua per ogni $x$; infatti la differenza $e^{x+dx} - e^{dx}$, ricordando la formula precedente, è uguale a un infinitesimo:
$e^{x}e^{dx}-e^x = e^x (1+dx) - e^x = e^x + e^x{dx} - e^x = e^x{dx}$
Esercizi
-
Disegnare il grafico della funzione $e^{2x}$(*)
-
Disegnare il grafico della funzione $e^{\frac{x}{2}}$(*)