La funzione logaritmica
La funzione logaritmica è la funzione inversa della funzione esponenziale; per definizione:
$ y = \log_a(x) \iff x = a^y $ logaritmo in base $a$, con $a$ reale qualsiasi positivo.
$ y = \ln(x) \iff x = e^y $ logaritmo naturale e cioè in base $e$, numero di Nepero.
Il logaritmo nel campo dei numeri reali è definito solo per reali positivi $x > 0$.(*).
Ricordiamo le proprietà fondamentali del logaritmo:
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$ \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$ in parole: Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi; equivale alla ben nota proprietà delle potenze: $a^m \times a^n = a^{m+n}$, dove $m = \log_a(x)$ e $n = \log_a(y)$.
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$ \log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$ in parole: Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi; equivale alla ben nota proprietà delle potenze: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, dove $m = \log_a(x)$ e $n = \log_a(y)$.
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$ \log_a(x^n) = n \log_a(x)$ in parole: Il logaritmo della potenza è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della base; equivale alla ben nota proprietà delle potenze: $(a^m)^n = a^{mn}$, dove $m = \log_a(x)$. Vale anche per esponenti razionali (radicali), e quindi p.es. $ \log_a(\sqrt{x}) = \log_a(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}\log_a(x)$.
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$ \log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(a)}$ formula per calcolare il logaritmo in base qualsiasi, quando sia possibile calcolare i logaritmi in una base nota, di solito $10$ o $e$.
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$ \log_a(1) = 0$ ovvia conseguenza della ben nota uguaglianza $a^0 = 1$.
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per valori infinitamente vicini ad $1$ vale $\ln(1+\epsilon) \cong \epsilon$ (vedi Funzioni esponenziali e logaritmiche degli iperreali).
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Esercizi
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Disegnare per punti il grafico della funzione $y = \ln(2x)$; che relazione vedi con la funzione $y = \ln(x)$?(*)
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Disegnare per punti il grafico della funzione $y = \ln(x^2)$; che relazione vedi con la funzione $y = \ln(x)$?(*) e con la funzione $y = 2 \ln(x)$?
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Disegnare per punti il grafico della funzione $\ln(x^3)$; che relazione vedi con la funzione $y = \ln(x)$?(*)
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Nel campo dei numeri complessi il logaritmo, come per i radicali, assume valori immaginari; dalla formula di Eulero si ricava infatti:
$$ \ln(-1) = i (\pi + 2k\pi)$$ con $k$ numero intero positivo o negativo.
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Essendo $\ln(2x) = \ln(2) + \ln(x)$ dove $\ln(2)$ è una costante che vale circa $0,693147181$; quindi si tratta semplicemente della curva logaritmica sollevata verso l'alto di tale costante.
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Essendo $\ln(x^2) = 2 \ln(x)$ si tratta semplicemente della curva logaritmica dilatata di un fattore 2; e però il grafico di $\ln(x^2)$ non è proprio lo stesso di $2 \ln(x)$ perché ...
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Essendo $\ln(x^2) = 3 \ln(x)$ si tratta semplicemente della curva logaritmica dilatata di un fattore 3; in questo caso il grafico di $\ln(x^2)$ è proprio lo stesso di $3 \ln(x)$ perché ...