Derivata per x = 1 Derivata per x = 4

Finché restiamo nel campo dei numeri reali, la funzione radice quadrata è definita solo per numeri maggiori o uguali a zero; quindi il dominio è $ D = R^{+} $. Qui di seguito tre diversi metodi per calcolare la derivata.

Un'altra possibile dimostrazione si ha partendo dalla regola della derivazione della funzione inversa; la funzione $y= \sqrt{x}$ equivale a $x=y^2$ la cui derivata è $ D_y y^2 = st \left( \frac{dx}{dy}\right) = 2y$. Ma poiché ...

$$D_x \sqrt{x} = st\left( \frac{dy}{dx} \right) = st\left( \frac{1}{\frac{dx}{dy}} \right) = \frac{1}{2y}$$

e poiché $y = \sqrt{x}$ si conclude che: $$D_x \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Per dimostrare la formula partiamo dalla definizione di derivata, sostituendo a $f(x)$ la funzione $\sqrt{x}$:

$ st \left( \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \right) = st \left( \frac{\sqrt{x+dx}-\sqrt{x}}{dx} \right) $

e qui conviene sfruttare il prodotto notevole $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$ moltiplicando sopra e sotto per la somma dei due radicali:

$ = st \left( \frac{(\sqrt{x+dx}-\sqrt{x})(\sqrt{x+dx}+\sqrt{x})}{dx(\sqrt{x+dx}+\sqrt{x})} \right) $

di modo che:

$\require{cancel} = st \left( \frac{(\cancel{x}+dx-\cancel{x})}{dx(\sqrt{x+dx}+\sqrt{x})} \right) = st \left( \frac{\cancel{dx}}{\cancel{dx}(\sqrt{x+dx}+\sqrt{x})} \right) = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $

e in conclusione si ha:

$$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Si osservi che lo stesso risultato si poteva ottenere usando gli esponenti razionali al posto del radicale e applicando la regola della derivazione della potenza, come segue:

$$D_x \sqrt{x} = D_x x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$