| $$D_x \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$$ |
Si tratta della classica iperbole equilatera, equazione $xy=1$; nei grafici a lato è mostrata la tangente in alcuni punti ed è facile verificare, già a vista, che il valore della pendenza della tangente è sempre negativo e tende a diminuire in valore assoluto.
Partiamo dalla definizione di derivata:
$ D_x f(x) = st \left( \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \right) $
e applicando le solite regole dell'algebra per le frazioni:
$\require{cancel} D_x \frac{1}{x} = st \left( \frac{\frac{1}{x+dx} - \frac{1}{x}}{dx} \right) = st \left( \frac{\cancel{x} - \cancel{x} - dx}{x(x+dx)} \frac{1}{dx} \right) = st \left( \frac{- \cancel{dx}}{x^2 + x dx} \frac{1}{\cancel{dx}} \right) $
e calcolando la parte standard, ovverosia rimuovendo gli infinitesimi si ricava:
$$ D_x \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} $$
Si osservi che lo stesso risultato si poteva ottenere usando gli esponenti negativi al posto della frazione, e ammettendo che la regola della derivazione della potenza sia valida anche per valori negativi:
$$D_x \frac{1}{x} = D_x x^{-1} = -1 x^{-2} = -\frac{1}{x^2} $$