Osservando qui a destra il grafico dinamico della funzione tangente, y = tan(x) e della tangente in un suo punto generico, si nota che il coefficiente angolare m della tangente è sempre positivo (crecente) e maggiore di 1. In altre parole ha una forma del tipo $ 1 + [f(x)]^2 $

Per determinare la derivata, conoscendo già le derivate del seno e del coseno possiamo partire dalla seconda identità goniometrica fondamentale:

$ \tan {x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} $

e applicando la regola della derivata del quoziente: $ D_x tan(x) = \frac{\cos{x}\cos{x} + \sin{x}\sin{x}}{\cos^2{x}} $

$ D_x tan(x) = \frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}} $

A questo possiamo procedere in due modi: 1) riconoscere al numeratore la prima identità goniometrica fondamentale:

$ D_x tan(x) = \frac{1}{\cos^2{x}} $

o 2) dividere con la proprietà distributiva e applicare di nuovo a rovescio la seconda identità:

$ D_x tan(x) = {1} + \tan^2{x} $

e quindi abbiamo due diverse formulazioni della derivata della tangente:

$ D_x \tan(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2{x} $