Una funzione continua in un punto $P$ si dice derivabile in $P$ se anche la sua derivata è continua in $P$.
Intuitivamente una funzione derivabile è una funzione il cui grafico è tutto curve senza spigoli e cioè senza cambiamenti bruschi di direzione. I punti dove la derivata è discontinua sono detti invece punti angolosi. L'angolo misura appunto il cambio di direzione della tangente alla curva, ovvero quello del valore della derivata.
Una funzione derivabile in ogni suo punto, quindi per ogni valore della $x$, ha appunto un grafico senza punti angolosi, tutto curve.
Una funzione $f(x)$ si dice derivabile (a destra) in un punto $P(x;y)$ se la sua derivata è continua in quel punto. Incrementando $x$ di un infinitesimo $dx$, anche la derivata $y'$ aumenta al più di un infinitesimo $dy$.
In simboli si può scrivere alternativamente:
$$ f'(x + dx) - f'(x) = dy'$$ $$ f'(x + dx) \simeq f'(x)$$
o anche usando il concetto di infinitamente vicino:
$ x \simeq x_1 => f'(x) \simeq f'(x_1) \quad [con \quad x_1 = x + dx]$
Analogamente si definisce una derivabilità a sinistra se:
$$f'(x - dx) - f'(x) = dy'$$ $$ f'(x - dx) \simeq f'(x)$$
Una quasiasi funzione algebrica intera (polinomio) P(x) è sempre derivabile in ogni suo punto. Infatti la derivata di un polinomio è ancora un polinomio e dunque è sempre continua. P.es. dato $P(x) = x^2 - 4x + 3$, (vedi grafico), la derivata è $P'(x) = 2x - 4$ che rappresenta una retta, sempre continua.
$ (2(x + dx) - 4) - (2x - 4) = 2x + 2dx - 4 - 2x + 4 = 2dx $ che è appunto un infinitesimo, qualunque sia $x$.
Come controesempio consideriamo la stessa funzione ma in valore assoluto: $y = |x^2 - 4x + 3|$; (vedi grafico)questa funzione ha gli stessi zeri del polinomio, che sono come si verifica facilmente x = 1 e x = 3; la derivata coincide con quella del polinomio all'esterno dell'intervallo ]1; 3[, mentre è opposta tra 1 e 3; per x = 1 e x = 3 resta indefinita.
$ y' = -2x + 4 \quad in \quad ]1; 3[ \\ y' = 2x - 4 \quad in \quad ]-\infty 1[\quad e \quad in \quad ]3; \infty[ $
Per $x = 1$, la derivata non è definita; se cerchiamo di eliminare la discontinuità assumendo la prima formula allora f'(1) = +2, mentre se assumiamo la seconda f'(1) = -2; in altre parole la pendenza della curva cambia bruscamente. Verifichiamo la cosa con la definizione di sopra, e assumendo che per x = 1 la derivata valga +2
$dy' = f'(1 + dx) - f'(1) = -2 - 2 = -4$ che non è infinitesimo.
e quindi la funzione non è derivabile per $x = 1$; analogamente si procede per $x = 3$.
