Discontinuità di una funzione

Infinitesimi - Funzioni continue - Funzioni derivabili - Funzioni integrabili

Una funzione $y = f(x)$ presenta una discontinuità per $x=x_0$, se vi è un salto*, se non può essere percorsa senza fare un salto. Se ne possono distinguere due tipi: 1) se è definita per $x=x_0$ ma non è ivi continua; 2) se non è definita per $x=x_0$ vi è una discontinuità, nel senso che la funzione risulta globalmente spezzata in due rami a destra e sinistra di $x_0$ e non può quindi essere percorsa in modo continuo, senza salti appunto. In altre parole il dominio della funzione non è connesso; in alcuni casi i due rami possono essere incollati riunendo i due rami in modo continuo, in altri casi questo è impossibile.

Le discontinuità sono state nel tempo classificate e ordinate in vari modi (prima specie, seconda specie ...) che possono variare a seconda degli autori, e non sono quindi molto significativi; trovo preferibile usare attributi autoesplicativi per fare una panoramica di questi cinque casi che possono presentarsi:

Discontinuità eliminabile; la funzione non è definita per $x = x_0$, intuitivamente c'è un buco infinitamente piccolo che la divide in due rami, ed è possibile eliminare la discontinuità assegnando alla funzione un valore che la renda continua, riempiendo il buco. Se infatti per qualsiasi $\varepsilon$ risulta $st(f(x_0-\varepsilon)) = st(f(x_0+\varepsilon))= L$, la stessa parte standard $L$*, allora la funzione diventa continua semplicemente assegnando $f(x_0)= L$. Intuitivamente la funzione ha un buco singolare che può essere colmato.
Discontinuità artificiale: la funzione è definita per $x = x_0$ ma non è connessa con i punti infinitamente vicini a $x_0$, nel senso che calcolati $L_s = st(f(x_0)-f(x_0-\varepsilon))$ e $L_d = f(x_0+\varepsilon)-f(x_0)$, risultano entrambi diversi dal valore della funzione $L_s \ne f(x_0)$ e $L_d \ne f(x_0)$. Intuitivamente la funzione presenta un punto spostato, fuori posto.
Discontinuità finita: la funzione è definita per $x = x_0$ ma c'è un salto, $f(x_0)$ non è infinitamente vicina a $f(x_0-\varepsilon)$ (discontinua a sinistra) o $f(x_0+\varepsilon)$ (discontinua a destra). Intuitivamente la funzione presenta un salto finito, uno scalino, che non può essere eliminato. Geometricamente si potrebbe eliminare tracciando un segmento di retta verticale che colleghi i due rami, ma in questo caso $f(x)$ non sarebbe una funzione in senso stretto, non essendo più univoca, avrebbe infiniti valori corrispondenti a $x_0$.
Discontinuità infinita: la funzione non è definita per $x = x_0$, $f(x_0-\varepsilon)$ e $f(x_0+\varepsilon)$ esistono e non sono infinitamente vicini ma anzi la loro differenza è un numero infinitamente grande. Intuitivamente la funzione presenta un salto infinito (come nel caso dell'asintoto verticale).
Discontinuità oscillante: la funzione non è definita per $x = x_0$, ma $f(x_0-\varepsilon)$ e $f(x_0+\varepsilon)$ dipendono dal valore di $\varepsilon$, quindi oscillano, la funzione è oscillante nella monade di $x_0$ e la discontinuità non è eliminabile, qualsiasi valore si assegni ad $f(x_0)$

Esempi:

Discontinuità eliminabile:
- la funzione $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$* (vedi grafico) non è definita per $x=1$, ma, fatti i calcoli, $f(x +\varepsilon) = f(x +\varepsilon) \simeq 2$. Può essere vista come un'iperbole degenere, che coincide con i suoi asintoti; infatti la divisione $(x^2-1) : (x-1)$ è esatta e vale $x + 1$; la funzione coincide quindi con questa retta fatto salvo x = 1 dove degenera nella frazione 0/0 e quindi può assumere qualsiasi valore, quindi in un certo senso c'è asintoto verticale $x = 1$. Semplificando la frazione, la funzione si riduce alla retta $y = x + 1$ e quindi per $x = 1$ si ha $f(x) = 2$ che la rende continua; la discontinuità è eliminata.
- la funzione $f(x) = \frac{sin(x)}{x}$ (vedi grafico) non è definita per $x = 0$, ma essendo $\frac{\sin(\pm\varepsilon)}{\pm\varepsilon} \simeq 1$ dunque si può completare la funzione rendendola continua ponendo $f(x) = 1$.
Discontinuità finita: La funzione a gradini $f(x) = floor(x) = \lfloor x \rfloor$ (vedi grafico) definita come il numero intero immediatamente inferiore (floor = pavimento) ad $x$; p.es. $\lfloor 1,1 \rfloor = 1$, $\lfloor 1 \rfloor = 1$; $\lfloor 0,99 \rfloor = 0$, $\lfloor -1,5 \rfloor = -2$, $\lfloor 1-\varepsilon \rfloor = 0$, $\lfloor 1+\varepsilon \rfloor = 1$, $\lfloor 1-\varepsilon \rfloor = 0$ è discontinua a sinistra e continua a destra per ogni valore intero.
Discontinuità infinita: La funzione $f(x) = \frac{1}{x}$* (vedi grafico); è la classica iperbole equilatera; per $x = 0$ non è definita; ma a destra è $\frac{1}{\varepsilon} = \omega$, a sinistra $\frac{1}{-\varepsilon} = -\omega$ la differenza è $2\omega$ infinitamente grande e la funzione ammette un asintoto verticale semplice.
Discontinuità artificiale: La funzione segno $s(x)$ (vedi grafico) così definita: $ x \gt 0 : s(x) = 1 ; s(0) = 0; x \lt 0 : s(x) = -1$ Per $x=0$ la funzione vale $0$ che è diverso sia da $s(0-\varepsilon)= -1$ sia da $s(0+\varepsilon)= 1$. L'origine è qui un punto isolato e il dominio $R$ è diviso in tre parti sconnesse.
Discontinuità oscillante: la funzione $f(x) = \sin(\frac{1}{x})$ (vedi grafico) per $x = 0$ non è definita e nella sua monade, valori infinitesimi, e quindi argomenti infinitamente grandi è oscillante (avendo esteso la funzione seno agli argomenti infinitamente grandi, ponendo per esempio $\sin(\pi \times \omega)= 0$, $\sin(\frac{\pi}2 + 2\pi \times \omega)=1$ ecc. ), e presenta una discontinuità per $x=0$ che divide il dominio in due parti sconnesse.

X Nel caso in esempio, la funzione è paradossalmente continua in ogni suo punto, il grafico consiste di due semirette aperte a destra e sinistra di $1$, le semirette sono ovunque continue, e quindi può suonare contraddittorio parlare di discontinuità. Dire che la funzione non è continua per $x=1$ è formalmente scorretto, visto che $1$ non appartiene al dominio della funzione, $R-\{1\}$. Globalmente però la funzione essendo spezzata in due rami ha comunque una discontinuità, nel senso che non può essere percorsa completamente senza fare un salto, sia pure infinitesimo; topologicamente si può dire che il dominio non è connesso.

X Anche in questo caso, la funzione è paradossalmente continua in ogni suo punto, il grafico consiste di due rami di iperbole che sono continui in ogni loro punto, e quindi si può ripetere tal quale il discorso fatto sopra: globalmente l'iperbole ha una discontinuità, intesa nel senso di un salto, che in questo caso è infinitamente grande. In altre parole il dominio, $R-\{0\}$, non è connesso, e in questo senso si deve intendere una frase come: l'iperbole ha una discontinuità per $x=0$.

X Uso la parola discontinuità nel senso intuitivo di salto, nnon si può disegnare senza staccare la matita dalla carta, come è stato fatto per generazioni sui libri liceali e universitari. Recentemente però, sono sorte polemiche di stampo vagamente bourbakista, contro l'uso della parola discontinuità quando la funzione non è definita. La cosa costituirebbe un errore gravissimo e, bourbakisticamente, si conclude che non si deve definire la continuità partendo dall'intuizione.
Usare locuzioni come punto di discontinuità laddove il punto non esiste, è certo un errore logico, ma concluderne che tutto nasce dall'uso dell'intuizione mi pare una forzatura bourbakista appunto. Nulla vieta invece che si possa parlare di discontinuità anche in questi casi, visto che comunque il salto c'è. Si vedano in proposito le note agli esempi 1) e 3) qui sotto.
La polemica mi pare malfondata e tendenziosa, quando mira a combattere l'uso dell'intuizione nella didattica. O peggio ancora a rimuovere la storia della matematica, sradicandola dalle sue origini.

X $L$ è quello che nell'analisi classica si chiama il limite a cui tende la funzione per $x$ che tende a $x_0$.