Il calcolo degli integrali nasce con Archimede di Siracusa e in particolare con il suo metodo di esaustione. In questa pagina presento il suo metodo per calcolare l'area del cerchio.
Per calcolare l'area del cerchio, Archimede immagina di dividerlo in infiniti triangoli infinitamente piccoli; ogni triangolo ha per base un arco infinitamente piccolo che quindi è indistinguibile da un segmento di retta e per altezza il raggio del cerchio. Detta $ds$ la lunghezza infinitesima dell'arco l'area del triangolo è: $$dA = \frac{ds \times R}{2}$$
L'area del cerchio è quindi la somma di queste infinite aree: $$A = \Sigma \frac{ds \times R}{2}$$
Usando il simbolo introdotto da Leibniz per indicare la somma di infiniti elementi infinitesimi, si scriverebbe: $$A = \int \frac{R}{2} {ds}$$
e mettendo in evidenza il fattore costante $\frac{R}{2}$:
$$A = \frac{R}{2} \int {ds}$$
Ma la somma degli infiniti archi $ds$ è la circonferenza, dunque si ottiene: $$A = \frac{R}{2} 2 π R$$
e semplificato il 2 e il prodotto $R \times R$ si ottiene: $$A = π{R}^2$$
che è la classica formula dell'area del cerchio.
Archimede nella prima proposizione della sua opera Περι κυκλου μετρησης = La Misura del Cerchio afferma che il cerchio è equivalente all'area di un triangolo rettangolo avente i cateti uguali alla circonferenza e al raggio.