I due problemi equivalenti della velocità istantanea e del coefficiente angolare della retta tangente a una curva portarono Leibnitz a definire il concetto più astratto di derivata di una funzione; se y = f(x) è una funzione di variabile reale, e se dy e dx sono gli incrementi infinitesimi di x e y allora si definisce derivata di y rispetto a x, il quoziente dei due infinitesimi:

 dy     f(x + dx) - f(x)
---- = ------------------
 dx            dx

Questa definizione era sufficiente per calcolare la derivata di ogni funzione algebrica; si vedano in proposito l'esempio della derivata di y = x² e altri esempi di derivate di polinomi.

Il simbolo dy/dx introdotto da Leibnitz è tuttora usato, ma ancor più usato è il meno ingombrante simbolo di Lagrange che si limita ad aggiungere un apice (apostrofo) alla f che sta per funzione:

              dy
y' = f'(x) = ----
              dx

Nella SIA la derivata viene definita implicitamente con l'uguaglianza:

f(x + dx) = f(x) + f'(x).dx

che equivale algebricamente alla definizione di Leibniz:

           f(x + dx) - f(x)
f'(x) =  ------------------
                 dx