Gli infinitesimi

Gli infinitesimi di Leibniz
Alla base del calcolo che fu per questo detto infinitesimale Leibniz pose i cosiddetti infinitesimi, numeri che sono al tempo stesso diversi [maggiori] di zero e minori di qualsiasi numero reale positivo. Gli infinitesimi permettono di risolvere problemi come quello della velocità istantanea e quello della tangente a una curva, introducendo il concetto di derivata, nonchè quello della misura dell'area sottesa da una curva introducendo il concetto di integrale. Strettamente collegato a quello di infinitesimo è quello di infinitamente prossimo.
Gli infinitesimi nella SIA
Quello della SIA (Smooth Infinitesimal Analysis) è un modo alternativo di definire gli infinitesimi come numeri a quadrato nullo; in altre parole per definizione un infinitesimo dx è tale che dx² = 0 Questa definizione di infinitesimo ha origine geometrica; il principio fondamentale della SIA è che ogni curva è a livello microscopico rettilinea (principle di Microstraightness principio di microlinearità) e questo equivale appunto a dire che a livello di infinitesimi si devono considerare solo i termini di primo grado, considerando nulli tutti i termini di ordine superiore (dx², dx³, dx⁴ ...). Questa definizione permette di semplificare molto il calcolo infinitesimale: la teoria dei limiti si riduce a un'algebra degli infinitesimi e dei loro reciproci, gli infiniti; il calcolo delle derivate e degli integrali risulta molto semplificato soprattutto a livello di definizioni e dimostrazioni. D'altra parte ammettere numeri non nulli a quadrato nullo comporta anche conseguenze che possono risultare sconcertanti: non è più valida per gli infinitesimi la legge di annullamento del prodotto e viene meno anche la legge logica del terzo escuso.
Gli infinitesimi nella NSA
Notazione Per indicare un infinitesimo Leibniz usa una d minuscola seguita dal nome della variabile reale che sta considerando; così se la variabile si chiama x, l'infinitesimo si scrive dx (leggi de ics), se si chiama y si scrive dy ... Con il ritorno dell'infinitesimo dagli anni '60 in poi è nata una certa confusione sui simboli usati per rappresentare gli infinitesimi. Alcuni autori usano Δx invece di dx, altri, in particolare nella SIA, usano lettere greche minuscole come ε η; altri ancora usano uno strano simbolo formato da due cerchietti concentrici detto hype. In questo ipertesto ho preferito mantenere la notazione di Leibniz che mi sembra ancora la più espressiva.

Gli infinitesimi di Leibniz

Alla base del calcolo che fu per questo detto infinitesimale Leibniz pose i cosiddetti infinitesimi, numeri che sono al tempo stesso diversi [maggiori] di zero e minori di qualsiasi numero reale positivo.

Gli infinitesimi permettono di risolvere problemi come quello della velocità istantanea e quello della tangente a una curva, introducendo il concetto di derivata, nonchè quello della misura dell'area sottesa da una curva introducendo il concetto di integrale.

Strettamente collegato a quello di infinitesimo è quello di infinitamente prossimo.

Gli infinitesimi nella SIA

Quello della SIA (Smooth Infinitesimal Analysis) è un modo alternativo di definire gli infinitesimi come numeri a quadrato nullo; in altre parole per definizione un infinitesimo dx è tale che

dx² = 0

Questa definizione di infinitesimo ha origine geometrica; il principio fondamentale della SIA è che ogni curva è a livello microscopico rettilinea (principle di Microstraightness principio di microlinearità) e questo equivale appunto a dire che a livello di infinitesimi si devono considerare solo i termini di primo grado, considerando nulli tutti i termini di ordine superiore (dx², dx³, dx⁴ ...).

Questa definizione permette di semplificare molto il calcolo infinitesimale: la teoria dei limiti si riduce a un'algebra degli infinitesimi e dei loro reciproci, gli infiniti; il calcolo delle derivate e degli integrali risulta molto semplificato soprattutto a livello di definizioni e dimostrazioni.

D'altra parte ammettere numeri non nulli a quadrato nullo comporta anche conseguenze che possono risultare sconcertanti: non è più valida per gli infinitesimi la legge di annullamento del prodotto e viene meno anche la legge logica del terzo escuso.

Gli infinitesimi nella NSA

Notazione

Per indicare un infinitesimo Leibniz usa una d minuscola seguita dal nome della variabile reale che sta considerando; così se la variabile si chiama x, l'infinitesimo si scrive dx (leggi de ics), se si chiama y si scrive dy ...

Con il ritorno dell'infinitesimo dagli anni '60 in poi è nata una certa confusione sui simboli usati per rappresentare gli infinitesimi. Alcuni autori usano Δx invece di dx, altri, in particolare nella SIA, usano lettere greche minuscole come ε η; altri ancora usano uno strano simbolo formato da due cerchietti concentrici detto hype.

In questo ipertesto ho preferito mantenere la notazione di Leibniz che mi sembra ancora la più espressiva.