Il principio di microlinearità
La Smooth Infinitesimal Analysis si basa sul seguente principio fondamentale:
Principio di microlinearità (Principle of Microstraightness): Per ogni curva C e ogni punto P appartenente ad essa, esiste un segmento di C non degenere - un microsegmento - intorno a P che è rettilineo, in altri termini C è microrettilinea intorno a P.
Questi microsegmenti si dicono anche segmenti infinitesimi o lineette (inglese: linelet).
Le lineette di fatto sono linee che hanno modulo nullo ma direzione determinata, che è poi
quella della tangente.
L'idea che una curva sia non tanto un insieme di punti indivisibili, ma piuttosto di lineette
infinitesime che si sovrappongono risale a de l'Hospital.
La loro misura è un
numero infinitesimo.
I numeri infinitesimi si possono indicare con il classico simbolo di Leibnitz dx; nella SIA si preferiscono
lettere greche minuscole p.es. ε, ζ, η alla maniera di Weierstrass.
Conseguenza di questo principio è il seguente secondo principio:
Esistenza di numeri non nulli a quadrato nullo: L'insieme delle grandezze dx diverse da zero, per le quali è dx² = 0, non è vuoto.
In altre parole assumeremo che gli infinitesimi sono numeri a quadrato nullo:
dx² = 0
ε² = 0
Che il secondo principio sia conseguenza del primo è abbastanza evidente: infatti dire che una curva a livello microscopico è rettilinea equivale a dire che a livello microscopico si devono considerare solo termini lineari e considerare nulli tutti i termini di ordine superiore a partire dal secondo