Il concetto di funzione è di importanza fondamentale in matematica. La classica definizione di funzione è:
Si dice funzione una relazione tra un primo insieme detto dominio e un secondo detto codominio che associa ad ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
Il concetto di funzione può applicarsi a relazioni e insiemi qualsiasi non necessariamente numerici; per esempio la relazione fratello (dominio e codominio sono U l'insieme degli esseri umani) non è una funzione perché un essere umano può non avere fratelli, averne uno o averne più di uno.
Viceversa è una funzione la relazione padre; ogni essere umano ha un padre e uno solo; non esistono uomini senza padre o con più di un padre (stiamo ovviamente parlando del padre biologico).
Si dice relazione inversa quella che si ottiene scambiano dominio e codominio; così la relazione inversa di padre è figlio; notiamo che la relazione figlio non è una funzione; un essere umano può non avere figli e può averne più di uno.
Basta questo esempio per rendersi conto che l'inversa di una funzione non è necessariamente una funzione. Quando lo è si dice funzione biunivoca.
In matematica ovviamente interessando sopratutto le funzioni di un dominio numerico, per esempio $\Bbb{N}, \Bbb{R}$ o qualche sottoinsieme di questi. Quando non altrimenti indicato si intenderà come dominio l'insieme dei reali $\Bbb{R}$
Nella galleria di figure accanto tre esempi di funzione ed un controesempio.
Una generica funzione si indica come $f(x)$ o $y=f(x)$; scrivendo $f(2)$ si intende il valore della funzione per x = 2.
Per scrivere una particolare funzione si scriverà per esempio $y=x^2-1$ o in modo equivalente $f(x)=x^2-1$. Una notazione più ingombrante quando si vogliono mettere in evidenza dominio e codominio è la seguente:
$\begin{cases} \Bbb{R} & \rightarrow & \Bbb{R} \\ x & \rightarrow & x^2-1 \\ \end{cases} $
Dovendo considerare altre funzioni si usano le lettere successive: $f(x), g(x), h(x) ...$
